3. Системи лінійних рівнянь. Матричні рівняння

Системи лінійних рівнянь і матричні рівняння

Система лінійних рівнянь може бути розв’язана двома способами.

Спосіб 1: стандартна команда solve знаходить розв’язання системи лінійних рівнянь, записаних у розгорнутому виді:

.

Спосіб 2: команда linsolve(A,b) з пакета linalg знаходить розв’язання рівняння . Аргументи цієї команди: А – матриця, b – вектор.

За допомогою команди linsolve(A,b) можна знайти розв’язання матричного рівняння АХ=В, якщо як аргументи цієї команди вказати, відповідно, матриці А и В.

Ядро матриці.

Ядро матриці А – це безліч векторів х таких, добуток матриці А на які дорівнює нульовому вектору: . Пошук ядра матриці А еквівалентний рішенню системи лінійних однорідних рівнянь. Знайти ядро матриці А можна командою kernel(A).

Приклад 4.

1. Знайти загальний й часний розв’язки системи:

> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

> s:=solve(eq,{x,y,z});

s:={ , y=y, }

Для знаходження часного розв’язку треба виконати підстановку конкретного значення однієї зі змінних за допомогою команди subs:

> subs({y=1,t=1},s);

{ , , 1=1}

2. Розв’язати матричне рівняння: АX=В; де ,

> A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

> X:=linsolve(A,B);

3. Дано матрицю . Знайти її ранг, дефект: d(A)=n–r(A), де n – розмірність квадратної матриці, r – її ранг. Знайти ядро А. Наберіть:

> A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

> r(A):=rank(A);

r(A):=2

> d(A):=rowdim(A)-r(A);

d(A):=1

> k(A):=kernel(A);

k(A):={[1,1,2]}

Контрольні завдання

1. Дані 2 вектори: , . Знайти й кут  між цими векторами.

2. Дані 3 вектори: , і . Знайти: і .

3. Дано системи векторів: , , , . Попередньо з'ясувавши, чи є система базисом, застосувати процедуру ортогоналізації Грама-Шмідта й побудувати ортогональний базис цього підпростору.

4. Дано матриці й . Знайти: AB, BA.

5. Знайти ранг матриці: .

6. Розв’язати матричне рівняння: АХ=В, де , .

Контрольні питання

1. Який пакет треба завантажити перед розв’язанням завдань лінійної алгебри в Maple?

2. За допомогою яких команд можна ввести вектор, матрицю?

3. Якими двома командами можна додати два вектори однакової розмірності (2 матриці)?

4. Які види добутків векторів обчислюються Maple і які команди для цього використовуються?

5. Як обчислити норму вектора?

6. Як обчислити кут між двома векторами?

7. Опишіть команди знаходження базису системи векторів і побудову ортогонального базису системи векторів.

8. Якими двома командами можна обчислити добуток двох матриць (або матриці на вектор)?

9. Які команди використовуються для знаходження визначника, мінору, алгебраїчного доповнення, сліду матриці?

10. Що таке дефект матриці? Опишіть спосіб знаходження дефекту квадратної матриці. Які команди при цьому використовуються?

11. Яка матриця називається оберненою і яким способами вона обчислюється в Maple?

12. Перелічите спеціальні види матриць і команди, що приводять матриці до цих форм.

13. Що називається ядром матриці, і яка команда використовується для його знаходження?

14. Яка команда дозволяє розв’язувати матричні рівняння?

Модуль 3

Змістовий модуль 3 «Математичний аналіз: функції однієї змінної»

Лабораторна робота № 5.

(2 години)

Математичний аналіз: диференціальне й інтегральне числення функції однієї змінної

Мета роботи: Навчитись обчислювати границі, диференціювати та інтегрувати функції за допомогою Maple.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1. Обчислення границь

В Maple для деяких математичних операцій існує дві команди: одна прямого, а інша – відкладеного виконання. Імена команд складаються з однакових букв за винятком першої: команди прямого виконання починаються з малої літери, а команди відкладеного виконання - із великої. Після звертання до команди відкладеної дії математичні операції (інтеграл, границя, похідна й т.д.) виводяться на екран у вигляді стандартного аналітичного запису цієї операції. Обчислення в цьому випадку відразу не робиться. Команда прямого виконання видає результат відразу.

Для обчислення границь є дві команди:

1. прямого виконання – limit(expr,x=a,par), де expr – вираз, границю якого треба знайти, a – значення точки, для якої обчислюється границя, par – необов'язковий параметр для пошуку однобічних границь (left – ліворуч, right – праворуч) або вказівка типу змінної (real – дійсна, complex – комплексна).

2. відкладеного виконання – Limit(expr,x=a,par), де параметри команди такі ж, як і в попередньому випадку. Приклад дій цих команд:

> Limit(sin(2*x)/x,x=0);

> limit(sin(2*x)/x,x=0);

2

За допомогою цих двох команд прийнято записувати математичні викладки в стандартному аналітичному виді, наприклад:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)= limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Однобічні гнраниці обчислюються із вказівкою параметрів: left – для знаходження границі ліворуч і righ – праворуч. Наприклад:

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)= limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)=limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

Приклад 1.

1. Обчислити границю . Наберіть:

> Limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1)=limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1);

2. Знайти однобічні границі й . Наберіть:

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,left)=limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,right)=limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);