4. Розв’язання нерівностей

Розв’язання простих нерівностей

Команда solve застосовується також для розв’язання нерівностей. Розв’язок нерівності подається у вигляді інтервалу зміни шуканої змінної. У тому випадку, якщо розв’язок нерівності піввісь, то в полі виводу з'являється конструкція виду RealRange(–, Open(a)), що означає, що x(–, a), а – деяке число. Слово Open означає, що інтервал з відкритою границею. Якщо цього слова немає, то відповідна границя інтервалу включена в безліч розв’язків. Наприклад:

> s:=solve(sqrt(x+3)<sqrt(x-1)+sqrt(x-2),x):

> convert(s,radical);

RealRange

Якщо ви хочете одержати розв’язок нерівності не у вигляді інтервалів типу x(a, b), а у вигляді обмежень для шуканої змінної типу a<x, x< b, то змінну, щодо якої треба розв’язати нерівність, треба вказувати у фігурних дужках. Наприклад:

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

Розв’язання систем нерівностей

За допомогою команди solve можна також розв’язати систему нерівностей. Наприклад:

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

Приклад 4.

1. Розв’язати нерівність . Наберіть:

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))

2. Розв’язати нерівність . Наберіть:

> solve(exp(2*x+3)<1,x);

RealRange

Контрольні завдання

1. Обчислити: .

2. Дано комплексне число . Знайти його дійсну та уявну частини, алгебраїчну форму, модуль і аргумент.

3. Записати функцію у вигляді функціонального оператора й обчислити її значення при x=1, y=0 і при , .

4. Записати функцію за допомогою оператора присвоювання й обчислити її значення при x=a, y=1/a, використовуючи команду підстановки subs.

5. Знайти всі точні розв’язки системи в аналітичному виді.

6. Знайти всі розв’язки тригонометричного рівняння .

7. Знайти чисельний розв’язок рівняння .

8. Розв’язати нерівність .

Контрольні питання

1. Опишіть способи завдання функцій в Maple.

2. Які операції оцінювання можна робити в Maple з дійсними виразами?

3. Для чого призначена команда evalf?

4. За допомогою яких команд можна знайти дійсну та уявну частини комплексного числа, а також його модуль і аргумент, і комплексно сполучене йому число? Яку роль виконує команда evalc?

5. Для чого призначена команда solve?

6. Які команди використовуються для чисельного розв’язання рівнянь і для розв’язання рекурентних рівнянь?

7. Які додаткові команди треба ввести для того, щоб одержати точний розв’язок рівняння, всі розв’язки рівняння?

8. У якому виді видається розв’язок нерівності? Як відрізнити в рядку виводу закритий інтервал від відкритого?

Модуль 2

Змістовний модуль 2 «Засоби графіки та лінійної алгебри»

Лабораторна робота №3

(2 години)

Побудова графіків

Мета роботи: Навчитися будувати двовимірні та тривимірні графіки, анімацію в Maple.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1. Двовимірні графіки

Команда plot і її параметри

Для побудови графіків функції f(x) однієї змінної (в інтервалі по осі Ох і в інтервалі по осі Оу) використовується команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), де parameters – параметри керування зображенням. Якщо їх не вказувати, то будуть використані установки за замовчуванням. Настроювання зображення також може здійснюватися з панелі інструментів.

Основні параметри команди plot:

1) title=”text”, де text-заголовок малюнка (текст можна залишати без лапок, якщо він містить тільки латинські букви без пробілів).

2) coords=polar – установка полярних координат (за замовчуванням установлені декартові).

3) axes – установка типу координатних осей: axes=NORMAL – звичайні осі; axes=BOXED – графік у рамці зі шкалою; axes=FRAME – осі із центром у лівому нижньому куті малюнка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштабу малюнка: scaling=CONSTRAINED – однаковий масштаб по осях; scaling=UNCONSTRAINED – графік масштабується за розміром вікна.

5) style=LINE(POINT) – вивід лініями (або точками).

6) numpoints=n – число точок, що обчислюються, графіка (за замовчуванням n=49).

7) сolor – установка кольору лінії: англійська назва кольору, наприклад, yellow – жовтий і т.д.

8) xtickmarks=nx і ytickmarks=ny – число міток по осі Оx і осі Оy, відповідно.

9) thickness=n, де n=1,2,3… - товщина лінії (за замовчуванням n=1).

10) linestyle=n – тип лінії: безперервна, пунктирна й т.д. (n=1 – безперервна, установлено за замовчуванням).

11) symbol=s – тип символу, яким позначають точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] – установка типу шрифту для виводу тексту: f задає назву шрифтів: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задає стиль шрифту: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – розмір шрифту в pt.

13) labels=[tx,ty] – напису по осях координат: tx – по осі Оx і ty – по осі Оy.

14) discont=true – вказівка для побудови нескінченних розривів.

За допомогою команди plot можна будувати крім графіків функцій y=f(x), заданої явно, також графіки функцій, заданих параметрично y=y(t), x=x(t), якщо записати команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Приклад 1.1.

1. Побудувати графік жирною лінією в інтервалі від -4 до 4. Наберіть:

> plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x,y],

labelfont=[TIMES,ITALIC,12], thickness=2);

2. Побудувати графік розривної функції .

> plot(x/(x^2-1),x=-3..3,y=-3..3,color=magenta);

Зауваження: на малюнку автоматично з'являються вертикальні асимптоти.

3. Побудувати графік параметричної кривої , , у рамці. Наберіть:

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

4. Побудувати в полярних координатах графік кардіоїди з назвою. Наберіть:

>plot(1+cos(x),x=0..2*Pi,title="Cardioida", coords=polar, color=coral, thickness=2);

5. Побудувати два графіки на одному малюнку: графік функції й дотичну до нього . Наберіть:

> plot([ln(3*x-1), 3*x/2-ln(2)], x=0..6,

scaling=CONSTRAINED, color=[violet,gold],

linestyle=[1,2], thickness=[3,2]);

Побудова графіка функції, заданої неявно

Функція задана неявно, якщо вона задана рівнянням . Для побудови графіка неявної функції використовується команда implicitplot із графічного пакету plots: implicitplot(F(x,y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2).

Вивід текстових коментарів на малюнок

У пакеті plots є команда textplot для виводу текстових коментарів на малюнок: textplot([xo,yo,’text’], options), де xo, yo – координати точки, з якої починається вивід тексту ’text’.

Вивід декількох графічних об'єктів на один малюнок

Часто буває необхідно сполучити на одному малюнку кілька графічних об'єктів, отриманих за допомогою різних команд, наприклад, додати графікові, намальованому командою plot, текстові написи, отримані командою textplot. Для цього результат дії команди привласнюється деякій змінній:

> p:=plot(…):t:=textplot(…):

При цьому на екран вивіду не відбувається. Для виводу графічних зображень необхідно виконати команду з пакета plots:

> with(plots): display([p,t], options).

Побудова двовимірної області, заданої нерівностями

Якщо необхідно побудувати двовимірну область, задану системою нерівностей , то для цього можна використовувати команду inequal з пакету plots. У команді inequals({f1(x,y)>c1,…,fn(x,y)>cn},x=x1…x2,y=y1....y2, options) у фігурних дужках вказується система нерівностей, що визначають область, потім розміри координатних осей і параметри. Параметри регулюють колір відкритих і закритих границь, колір зовнішньої й внутрішньої областей, а також товщину ліній границь:

• optionsfeasible=(color=red) – установка кольору внутрішньої області;

• optionsexcluded=(color=yellow) – установка кольору зовнішньої області;

• optionsopen(color=blue, thickness=2) – установка кольору й товщини лінії відкритої границі;

• optionsclosed(color=green,thickness=3) – установка кольору й товщини лінії закритої границі.

Приклад 1.2.

1. Побудувати графік неявної функції (гіперболи): .

> with(plots):

> implicitplot(x^2/4-y^2/2=16, x=-20..20, y=-16..16, color=green, thickness=2);

2. Побудувати на одному малюнку графіки астроїди , ( ) вписаної в еліпс . Виведіть назву ліній Astroida і Ellips жирним шрифтом разом із його рівнянням курсивом. Для цього наберіть наступні рядки:

> with(plots):

> eq:=x^2/16+y^2/4=1:

> el:=implicitplot(eq, x=-4..4, y=-2..2, scaling=CONSTRAINED, color=green, thickness=3):

> as:=plot([4*cos(t)^3,2*sin(t)^3, t=0..2*Pi], color=blue, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):

> eq1:=convert(eq,string):

> t1:=textplot([1.5,2.5,eq1], font=[TIMES, ITALIC, 10], align=RIGHT):

> t2:=textplot([0.2,2.5,"Ellips:"], font=[TIMES, BOLD,10], align=RIGHT):

> t3:=textplot([1.8,0.4,Astroida], font=[TIMES, BOLD,10], align=LEFT):

> display([as,el,t1,t2,t3]);

3. Побудувати область, обмежену лініями: , , .

> with(plots):

> inequal({x+y>0, x-y<=1, y=2}, x=-3..3, y=-3..3, optionsfeasible=(color=red),

optionsopen=(color=blue,thickness=2), optionsclosed=(color=green, thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow) );