5. Інтегральні перетворення

В Maple є пакет inttrans, у якому утримуються команди різних інтегральних перетворень.

Перетворення Фур'є

Пряме перетворення Фур'є функції f(x) обчислюється по формулі

.

В Maple воно може бути знайдено командою fourier(f(x),x,k), де x  змінна, по якій виробляється перетворення, k  ім'я змінної, котре треба привласнити параметру перетворення.

Зворотне перетворення Фур'є задається формулою

і обчислюється командою invfourier(F(k),k,x).

Описане вище пряме й зворотне перетворення Фур'є називаються комплексними й застосовуються в тих випадках, коли функція f(x) задана на всій числовій осі. Якщо функція f(x) задана тільки при х>0, то рекомендується використовувати синус- і косинус- перетворення Фур'є.

Пряме й зворотне синус-перетворення Фур'є функції f(x) визначаються формулами

и.

Оскільки формули синус-перетворення Фур'є симетричні щодо заміни x на k, то в Maple ці перетворення обчислюються одною командою, але з різним порядком вказівки параметрів: fouriersin(f(x),x,k)  обчислює пряме синус-перетворення Фур'є; fouriersin(F(k),k,x)  обчислює зворотне синус-перетворення Фур'є.

Аналогічно, пряме й зворотне косинус-перетворення Фур'є функції f(x) визначаються формулами

и.

В Maple ці перетворення обчислюються одною командою, але з різним порядком вказівки параметрів: fourierсоs(f(x),x,k)  обчислює пряме косинус-перетворення Фур'є; fourierсоs(F(k),k,x)  обчислює зворотне косинус-перетворення Фур'є.

Приклад 5.1.

1. Для функції , знайти перетворення Фур'є.

> restart:with(inttrans): assume(a>0):

> fourier(exp(-a*abs(x)),x,k);

3. Для функції , a>0 знайти синус- і косинус- перетворення Фур'є.

> f:=exp(-a*x)*sin(b*x):

> fouriercos(f,x,k);

> fouriercos(f,x,k);

Перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа функції f(x) (якщо воно існує) обчислюється по формулі:

.

Одержувана функція F(p) називається зображенням.

В Maple це перетворення обчислюється командою laplace(f(x),x,p), де x  змінна, по якій здійснюється перетворення, p  ім'я змінної, котре треба привласнити параметру перетворення.

Зворотне перетворення Лапласа (називається оригіналом) обчислюється по формулі:

.

Оригінал f(x) (якщо він існує) може бути знайдений по зображенню F(p) командою invlaplace(F(p),p,x).

Приклад 5.2.

1. Знайти зображення функції .

> restart:with(inttrans):

> F(p)=laplace(cos(a*x)*sinh(b*x), x, p);

.

2. Знайти оригінал Лапласа функції , a>0.

> assume(a>0): invlaplace(1/(p^2+2*a*p),p,x):

> combine(%,trig);

.

Контрольні завдання

1. Знайти всі частинні похідні 2 - ого порядку функції

.

2. Знайти умовний екстремум функції

при

3. Знайти значення змінних, при яких лінійна функція має максимум, якщо потрібне виконання умов x+y2, z1.

4. Обчислити потрійний інтеграл:

.

5. Дано функцію . Знайти gradf і похідну від f у напрямку бісектриси 1-ого координатного кута.

6. Рідина заповнює простір, обертаючись навколо осі Oz проти годинникової стрілки з постійною кутовою швидкістю . Знайти де V  швидкість, що дорівнює ; w  кутове прискорення, дорівнює ; r=[x,y,z] – радіус-вектор.

7. При якій залежності частоти  від параметрів а, b і с функція задовольняє хвильовому рівнянню ?

8. Знайти матрицю Якобі і її визначник для вектор-функції

9. Знайти суму ряду й суму перших N членів.

10. Знайти функцію, до якої сходиться степеневий ряд .

11. Розкласти в степеневий ряд f(x)=arcsinx в околиці x=0 до 9-ого порядку.

12. Розкласти в ряд Тейлора функцію до 6 – ого прядку в околиці точки (0, 0).

13. Розкласти в ряд Фур'є функцію з періодом 4 на інтервалі [0;4], утримуючи 6 членів ряду. Побудувати на одному малюнку графіки функції і її n-часткової суми ряду Фур'є.

14. Знайти перетворення Фур'є функції f(x)= , a>0.

15. Знайти зображення Лапласа й побудувати їхні графіки для наступних функцій:

а) ; б) .

16. Знайти оригінал Лапласа функції й побудувати його графік.

17. Дано функцію , знайти її зображення Лапласа.