2 Інтегральне числення функцій багатьох змінних

В Maple є дві спеціальні команди для обчислення подвійних і потрійних інтегралів, що містяться в бібліотеці student.

Для обчислення подвійних інтегралів використовується команда Doubleint(f(x, y), D), де D – область інтегрування, записувана в одному з наступних форматів:

• x=х1..х2, y=y1..y2, де числа х1, х2, y1, y2 задають прямокутну область інтегрування;

• x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, де f1(y), f2(y)  лінії, що обмежують область інтегрування ліворуч і праворуч на інтервалі від y1 до y2;

• x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , де g1(y), g2(y)  лінії, що обмежують область інтегрування знизу й зверху на інтервалі від х1 до х2.

Для обчислення потрійних інтегралів використовується команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), де V – область інтегрування.

Обидві ці команди є командами відкладеної дії. Щоб одержати значення інтеграла, треба використовувати команду value(%).

Повторні інтеграли можна обчислювати за допомогою повторення команди int, наприклад, повторний інтеграл обчислюється командою

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

Приклад 2.

1. Обчислити подвійний інтеграл

> Int(Int(y^3/(x^2+y^2),x=0..y),y=2..4)=int(int(y^3/(x^2+y^2), x=0..y),y=2..4);

2. Обчислити подвійний інтеграл по області, обмеженої лініями .

Зауваження: спочатку треба описати область інтегрування D у вигляді нерівностей:

> restart: with(student):

> J:=Doubleint(sin(x+2*y), x=y..Pi/2-y, y=0..Pi/2);

> J:=value(%);

3. Обчислити потрійний інтеграл .

Зауваження: треба пам'ятати, що порядок інтегрування визначається послідовністю меж, тому спочатку внутрішні вказуються межі, що містять функції.

> J:=Tripleint(4+z, y=x^2..1,x=-1..1, z=0..2);

> J:=value(%);

3. Векторний аналіз

Наведемо визначення основних диференціальних операцій векторного аналізу й команди Maple для їхнього обчислення, які наявні в бібліотеці linalg.

Градієнт скалярної функції f(x, y, z) – це вектор, координатами якого є частинні похідні по відповідним змінним: . В Maple grad обчислюється командою grad(f,[x,y,z],c), де тут і надалі f – функція, [x,y,z] – набір змінних, від яких вона залежить.

Параметр с дозволяє обчислювати дану диференціальну операцію в різних криволінійних координатах (за замовчуванням використовується прямокутна декартова система координат). Цей параметр може вказуватися у всіх наявних в Maple диференціальних операціях. Для обчислення диференціальної операції в циліндричних координатах треба записати coords=cylindrical, у сферичних координатах – coords=spherical.

Лапласіан скалярної функції f(x, y, z) – це оператор, що діє на функцію f(x, y, z) за правилом: . Він обчислюється командою laplacian(f,[x,y,z],c).

Дивергенцією вектор-функції F(x, y, z) називається функція (скалярна), що обчислюється за правилом: . Дивергенція в Maple обчислюється командою diverge(F,[x,y,z],c), де тут і надалі F – вектор-функція, [x,y,z] – набір змінних, від яких вона залежить.

Ротором вектор-функції F(x, y, z) називається вектор з координатами: . Ротор обчислюється командою curl(F,[x,y,z],c).

Для вектор-функції F(x, y, z) можна обчислити матрицю Якобі

за допомогою команди jacobian(F,[x,y,z]).

Приклад 3.

1. Дано функцію . Знайти . Які кути становить із осями координат? Знайти похідну функції u(x,y) за напрямком вектора q=[1,1].

> restart: with(linalg):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

> u:=arctan(y/x): g:=simplify(grad(u, [x, y]));

> alpha:=simplify(angle(g, [1, 0]));

> beta:=simplify(angle(g, [0, 1]));

Косинуси цих кутів є напрямними косинусами . Переконаємося, що сума їхніх квадратів дорівнює одиниці.

> simplify(cos(alpha)^2+cos(beta)^2);

1

Похідна функції u по напрямку q дорівнює скалярному добутку градієнта цієї функції на нормований вектор q: , де  нормований вектор q.

> q:=vector([1,1]);e:=normalize(q);

q:=[1, 1]

е:=

> udq:=simplify(dotprod(g,e));

udq:=

2. Дано вектор-функція F(x, y, z)= . Знайти й .

> F:=vector([x^2*y*z, x*y^2*z, x*y*z^2]);

> divF:=diverge(F, [x, y, z]);

divF:=6xyz

> rotF:=curl(F, [x, y, z]);

3. При якому значенні параметра а функція u=x³+axy² задовольняє рівнянню Лапласа u=0?

> u:=x^3+a*x*y^2:

> Delta(u):=laplacian(u, [x,y]);

(x³+axy²):=6x+2ax

> a=solve(%=0,a);

a=-3

4. Довести, що функція , де задовольняє диференціальному рівнянню , k  постійна.

> u:=(exp(-k*r)+exp(k*r))/r:

> Delta(u):=simplify(laplacian(u, [r, theta, phi], coords=spherical));

> simplify(%-k^2*u);

0

5. Знайти матрицю Якобі і її визначник вектор-функції v=[x, y/x].

> v:=vector([x, y/x]): jacobian(v, [x, y]);

> det(%);