4. Перетворення математичних виразів

Maple має широкі можливості для проведення аналітичних перетворень математичних формул. До них належать такі операції, як приведення подібних, розкладання на множники, розкриття дужок, приведення раціонального дробу до нормального виду й багато інших.

Виділення частин виразів.

Математична формула, над якою будуть робитись перетворення, записується в наступній формі: > eq:=exp1=exp2; де eq – довільне ім'я виразу, exp1 – умовна позначка лівої частини формули, exp2 – умовна позначка правої частини формули.

Виділення правої частини виразу здійснюється командою rhs(eq), виділення лівої частини виразу – командою lhs(eq). Розглянемо приклад:

> eq:=a^2-b^2=c;

eq :=

> lhs(eq);

> rhs(eq);

с

Якщо задано раціональний дріб виду a/b, то можна виділити його чисельник і знаменник за допомогою команд numer і denom, відповідно. Наприклад:

> f:=(a^2+b)/(2*a-b);

> numer(f);

> denom(f);

Всі обчислення в Maple, як правило, здійснюються у символьному виді, тобто результат буде містити в явному виді ірраціональні константи, такі як, і інші. Щоб одержати наближене значення у вигляді числа із плаваючою комою, варто використовувати команду evalf(expr,t), де expr – вираз, t – точність, виражена в числах після коми.

Тотожні перетворення виразів

Розкриття дужок виразу eq здійснюється командою expand(eq). Наприклад:

> eq:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);

> expand(eq);

Розкладання багаточлена на множники здійснюється командою factor(eq). Наприклад:

> p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

> factor(p);

Команда expand може мати додатковий параметр, що дозволяє при розкритті дужок залишати певний вираз без змін. Наприклад, нехай потрібно кожний доданок виразу помножити на вираз (x+a). Тоді в командному рядку варто написати:

> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));

Дріб можна привести до нормального виду за допомогою команди normal(eq). Наприклад:

> f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

> normal(f);

Спрощення виразів здійснюється командою simplify(eq). Наприклад:

> eq:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eq);

Приведення подібних членів у виразі здійснюється командою collect(exp,var), де exp – вираз, var – ім'я змінної, щодо якої треба шукати подібні. У команді simplify як параметри можна вказати, який вираз перетворювати. Наприклад, при вказівці simplify(eq,trig) буде вироблятися спрощення при використанні великої кількості тригонометричних співвідношень. Стандартні параметри мають назви: power – для ступеневих перетворень; radical або sqrt – для перетворення коренів; exp – перетворення експонент; ln – перетворення логарифмів. Використання параметрів набагато збільшує ефективність команди simplify.

Об'єднати показники ступеневих функцій або понизити ступінь тригонометричних функцій можна за допомогою команди combine(eq,param), де eq – вираз, param – параметри, що вказують, який тип функцій перетворити, наприклад, trig – для тригонометричних, power – для степеневих. Наприклад:

> combine(4*sin(x)^3, trig);

Для спрощення виразів, що містять не тільки квадратні корені, але й корені інших ступенів, краще використовувати команду radnormal(eq). Наприклад:

> sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))=radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));

За допомогою команди convert(exp, param), де exp – вираз, що буде перетворено в зазначений тип param. Зокрема, можна перетворити вираз, що містить sinx і cosx, у вираз, що містить тільки tgx, якщо вказати як параметр tan, або, навпаки, tgx, ctgx можна перевести в sinx і сosx, якщо в параметрах указати sincos.

Взагалі, команда convert має більш широке призначення. Вона здійснює перетворення виразу одного типу в іншій. Наприклад: convert(list, vector) – перетворення деякого списку list у вектор з тими ж елементами; convert(expr, string) – перетворення математичного виразу в його текстовий запис. Для виклику докладної інформації про призначення параметрів команди convert варто звернутися до довідкової системи, набравши convert[termin].

Якщо ви забули параметри якої-небудь команди, то можна скористатися довідковою системою Maple. Для виклику довідки по конкретній команді, треба виділити набране ім'я цієї команди й нажати клавішу F1. Якщо команда набрана правильно, то з'явиться опис цієї команди.

Приклад 4.

Перед виконанням кожного пункту цього завдання обов'язково набирайте команду відновлення restart;

1. Розкласти поліном на множники . Для цього наберіть у командному рядку:

> factor(x^3+4*x^2+2*x-4);

Після натискання клавіші Enter повинно вийти .

2. Спростити вираз . Наберіть:

> eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(eq, tan):

> eq=normal(%);

.

3. Спростити вираз . Для цього наберіть:

> eq:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6):

> eq=combine(eq, trig);