Контрольні завдання

1. Набрати на екрані поліном (1) із заданими чисельними значеннями коефіцієнтів (А₅, A₄, A₃, A₂, A₁, A₀), виділивши алгебраїчну змінну s.

2. Зареєструвати отримані при виконанні програми значення коренів алгебраїчного рівняння (не більше трьох значущих цифр).

3. Зобразити на малюнку у звіті розташування коренів (на комплексній площині).

4. Провести аналіз коренів для оцінки стійкості й коливальності динамічного об'єкта.

Контрольні питання

1. Який вид має характеристичне рівняння?

2. Які бувають корені при розв’язанні алгебраїчного рівняння ?

3. Де розташовуються дійсні корені на комплексній площині ?

4. Як можна оцінити стійкість динамічної системи по розташуванню коренів на комплексній площині?

5. Яка послідовність дій повинна бути виконана для одержання розв’язання алгебраїчного рівняння ?

Лабораторна робота № 9

(4 години)

Розкладання складного дробу на суму простих

Мета роботи: Розкласти складний дріб на сумму простих за допомогою пакету Maple.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

У даній лабораторній роботі використовується алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь четвертого порядку (n=4). Вихідним математичним описом досліджуваного динамічного об'єкта виступає передатна функція

, (1)

де A_i, B_j – постійні коефіцієнти, що задаються для виконання індивідуального завдання й наведені в додатку.

При розв’язанні диференціального рівняння операторним методом потрібне розкладання передатної функції (1) на суму простих дробів, ступінь знаменника кожної з яких не більше двох.

Наприкінці виконання програми на екран виводяться параметри отриманої передатної функції.

Можливий вид отриманого розв’язання:

, (2)

де q₀ , q₁ , … - постійні коефіцієнти.

Отриманий вираз для передатної функції динамічного об'єкта уможливлює провести дослідження останнього як вручну з використанням довідника з операційного числення, так і машинним способом.

Якщо всі коефіцієнти в знаменниках отриманих простих дробів позитивні, то досліджувана динамічна система стійка й не потрібне розв’язання характеристичного поліному.

Наявність простих передатних функцій із квадратним характеристичним поліномом свідчить про можливу коливальність динамічного об'єкта.

Вихідними даними при виконанні даної лабораторної роботи є коефіцієнти передатної функції (1): B₁, B₀ , A₄ , A₃, A₂, A₁, A_0. Одержуваним результатом виступають коефіцієнти q_i у вираженні (2) або в іншому подібному виді.

Контрольні завдання

1. Набрати передатну функцію із заданими чисельними значеннями коефіцієнтів (B₁ , B₀ , A₄ , A₃ , A₂ , A₁ , A₀).

2. Розкласти складний дріб на суму простих дробів, для цього:

• Розкласти багаточлен на множники, попередньо підставивши значення A4, A3, A2, A1, A0 у відповідності номера вашого варіанта

> eq:=factor(0.00003*s^4+0.0106*s^3+0.483*s^2+43.8*s+400);

• Записати майбутню суму простих дробів із невідомими коефіцієнтами

> A/(s+316.6280993)+B/(s+10.0)+(C*s+D)/(s^2+26.70523400*s+4211.039185);

• Привести дріб до загального знаменника

> f:=simplify(A/(s+316.6280993)+B/(s+10.0)+(C*s+D)/(s^2+26.70523400*s+4211.039185));

• Виділити чисельник отриманого дробу

> k:=numer(f);

• Привести подібні члени при змінній s

> d:=collect(k,s);

d:=

• Прирівняти чисельник вихідного дробу до чисельника d

>g:=40*s+400=collect(k,s);

g:=

• Порівнюючи коефіцієнти дробів при однакових ступенях s в обох частинах g , одержимо систему рівнянь щодо шуканих коефіцієнтів A,B,C,D

> solve({.1000000000e14*A+.1000000000e14*B+.1000000000e14*C=0,

.3670523400e15*A+.3433333333e16*B+.3266280993e16*C+.1000000000e14*D=0,.4478091525e17*A+.3266280993e16*D+.1266666667e18*B+.3166280993e17*C=40,

.3166280993e17*D+.4211039185e18*A+.1333333333e20*B=400},{A,B,C,D});

> B = 0., D = .1207901655e-13, A = .4166286277e-16, C = -.4166286277e-16;

• Підставимо знайдені коефіцієнти у вираз

> eq1:=.4166286277e-16/(s+316.6280993)+0/(s+10.0)+(-.4166286277e-16*s+.1207901655e-13)/(s^2+26.70523400*s+4211.039185);

eq1 - розкладання складного дробу на суму простих:

3. Зареєструвати, отримані при виконанні програми, значення коефіцієнтів простих дробів.

4. Провести аналіз отриманих коефіцієнтів простих передатних функцій для оцінки стійкості й коливальності динамічного об'єкту.

Варіанти вихідних даних

№	B1	B 0	A4	A3	A2	A1	A0
	40	400	0.00003	0.0106	0.523	44.2	400
	40	400	0.00003	0.0106	0.643	45.4	400
	40	400	0.00003	0.0106	0.843	47.4	400
	40	400	0.00003	0.0106	1.24	51.4	400
	40	400	0.00003	0.0106	2.04	59.4	400
	40	400	0.00003	0.0106	2.44	63.4	400
	160	800	0.00006	0.0209	4.78	203.4	800
	160	800	0.00006	0.0209	3.98	195	800
	160	800	0.00006	0.0209	2.78	183.4	800
	160	800	0.00006	0.0209	1.98	175	800
	160	800	0.00006	0.0209	1.58	171	800
	160	800	0.00006	0.0209	1.18	167	800
	160	800	0.00006	0.0209	1.02	165	800
	160	800	0.00006	0.0209	2.38	179	800
	160	800	0.00006	0.0209	0.943	165	800
	360	1200	0.00024	0.062	1.764	365.8	1200
	360	1200	0.00024	0.062	2.124	367.6	1200
	360	1200	0.00024	0.062	3.204	373	1200
	360	1200	0.00024	0.062	5.004	382	1200