Контрольні завдання

1. Обчислити границю .

2. Знайти границю функції при й при .

3. Знайти .

4. Обчислити невизначений інтеграл .

5. Обчислити невласний інтеграл при a>0 b>0 для випадків a>b, a=b, a<b.

6. Чисельно знайти інтеграл .

7. Повністю проробити всі етапи обчислення інтеграла за частинами.

8. Обчислити інтеграл за допомогою універсальної підстановки tg(x/2)=t.

Контрольні питання

1. Що таке команди прямого й відкладеного виконання? Опишіть їхню дію.

2. За допомогою якої команди обчислюються границі? Які в неї параметри?

3. Які команди дозволяють знайти похідну функції?

4. Які команди роблять аналітичне й чисельне інтегрування? Опишіть їхні параметри.

5. За допомогою яких команд вводяться обмеження на параметри для обчислення інтегралів, що залежать від параметрів?

6. Для чого призначений пакет student?

7. Опишіть команду інтегрування за частинами.

8. Опишіть команду інтегрування методом заміни змінних.

Лабораторна робота № 6.

(4 години)

Диференціальні рівняння

Мета роботи: Ознайомитися з алгоритмом аналітичного та чисельного розв’язання диференціальних рівнянь у Maple.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1. Аналітичне розв’язання диференціальних рівнянь

Загальне розв’язання диференціальних рівнянь

Для знаходження аналітичних розв’язків диференціальних рівнянь в Maple застосовується команда dsolve(eq,var,options), де eq – диференціальне рівняння, var – невідомі функції, options – параметри. Параметри можуть вказувати на метод розв’язання завдання, наприклад, за замовчуванням шукається аналітичний розв’язок: type=exact. При складанні диференціальних рівнянь для позначення похідної застосовується команда diff, наприклад, диференціальне рівняння y''+y=x записується у вигляді: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Загальний розв’язок диференціального рівняння залежить від довільних констант, число яких дорівнює порядку диференціального рівняння. В Maple такі константи, як правило, позначаються як _С1, _С2, і т.д.

Загальний розв’язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння завжди виводиться так, щоб була чітко видна, структура цього розв’язку. Як відомо, загальний розв’язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного диференціального рівняння й часного розв’язку цього ж неоднорідного диференціального рівняння. Тому в рядку виводу розв’язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння завжди складається з доданків, які містять довільні константи (це загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння), і доданків без довільних постійних (це часний розв’язок цього ж неоднорідного диференціального рівняння).

Команда dsolve видає розв’язання диференціального рівняння в аналітичному виді. Для того, щоб з розв’язком можна було б працювати далі (наприклад, побудувати графік розв’язку) треба відокремити праву частину отриманого розв’язку командою rhs(%).

Приклад 1.1.

1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння y'+ycosx=sinxcosx.

> restart;

> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

de:=

> dsolve(de,y(x));

1

Отже, розв’язком шуканого рівняння є функція 1.

Зауваження: при записі розв’язку диффреренціального рівняння в Maple в рядку виводу довільна константа позначена як _С1.

2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку y''2y'+y=sinx+e^x.

> restart;

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x)+exp(-x);

deq:=

> dsolve(deq,y(x));

Зауваження: тому що вихідне рівняння було другого порядку, то отриманий розв’язок містить дві довільні константи _С1 і _С2. Перші два доданки являють собою загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння, а другі два - часний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння порядку y''+k²y=sin(qx) у двох випадках: qk і q=k (резонанс).

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);

de:=

> dsolve(deq,y(x));

Тепер знайдемо розв’язання у випадку резонансу. Для цього перед викликом команди dsolve треба прирівняти q=k.

> q:=k: dsolve(de,y(x));

Зауваження: в обох випадках часний розв’язок неоднорідного рівняння й загальний розв’язок, що містить довільні константи, виводяться окремими доданками.

Фундаментальна (базисна) система розв’язків

Команда dsolve дає можливість знайти фундаментальну систему розв’язків (базисні функції) диференціального рівняння. Для цього в параметрах команди dsolve треба вказати output=basis.

Приклад 1.2.

Знайти фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння: y⁽⁴⁾+2y''+y=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de:=

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Розв’язання задачі Коші або крайової задачі

Команда dsolve може знайти розв’язання задачі Коші або крайової задачі, якщо крім диференціального рівняння задати початкові або крайові умови для невідомої функції. Для позначення похідних у початкових або крайових умовах використовується диференціальний оператор , наприклад, умову y''(0)=2 треба записати у вигляді , або умову y'(1)=0: . Нагадаємо, що похідна n-го порядку записується у вигляді .

Приклад 1.3.

1. Знайти розв’язання задачі Коші: y⁽⁴⁾+y''=2cosx, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0, (D@@3)(y)(0)=0;

cond:=y(0)=2, D(y)(0)=1, (D⁽²⁾)(y)(0)=0, (D⁽³⁾)(y)(0)=0

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2cos(x)xsin(x)+х

2. Знайти розв’язання крайової задачі: , , . Побудувати графік розв’язання.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de:=

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2x+cos(x)

Зауваження: для побудови графіку розв’язання попередньо треба відокремити праву частину отриманого виразу.

> y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);