Контрольні завдання

1. Знайти загальне розв’язання диференціального рівняння:

2. Знайти фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння:

3. Знайти розв’язання задачі Коші: , , ,

4. Знайти розв’язання системи диференціальних рівнянь:

при початкових умовах х(0)=1, х'(0)=0; в(0)=1.

5. Знайти розв’язання нелінійного рівняння при початкових умовах в(0)=2а, у'(0)=а у вигляді розкладання в степеневий ряд до 6-го порядку.

6. Побудувати графік чисельного розв’язання задачі Коші у'=sin(xy), в(0)=1.

7. Розв’язати чисельно задачу Коші: , , . Знайти наближене розв’язання цього рівняння у вигляді розкладання в степеневий ряд. Побудувати на одному малюнку графіки отриманих розв’язків.

8. Побудувати графік чисельного розв’язання задачі Коші у''xу'+ xу=0, в(0)=1, у'(0)=4 на інтервалі [1.5; 3], використовуючи команду DEplot.

Контрольні питання

1. Яка команда дозволяє розв’язати диференціальне рівняння? Опишіть її параметри.

2. За допомогою яких операторів позначається похідна в диференціальному рівнянні й у початкових умовах?

3. Який параметр команди dsolve треба встановити, щоб одержати фундаментальну систему диференціальних рівнянь?

4. Який параметр команди dsolve треба встановити, щоб одержати наближене розв’язання диференціального рівняння у вигляді розкладання в статечної ряд? Як визначається порядок розкладання?

5. Опишіть, які команди потрібно ввести, перш ніж побудувати графік наближеного розв’язання, отриманого у вигляді статечного ряду.

6. Який параметр команди dsolve треба встановити, щоб розв’язати диференціальне рівняння чисельно?

7. Як знайти значення розв’язання диференціального рівняння в якій-небудь конкретній точці?

8. Яка команда дозволяє побудувати графік чисельно розв’язаного диференціального рівняння? У якому пакеті знаходиться ця команда?

9. Який пакет призначений для графічного подання й чисельного розв’язання диференціального рівняння?

10. У чому відмінність команд odeplot і DEplot?

Модуль 4

Лабораторна робота № 7

(4 години)

Математичний аналіз: функції багатьох змінних, векторний аналіз, ряди, інтегральні перетворення

Мета роботи: За допомогою Maple навчитись розв’язувати завдання диференціального та інтегрального числення функцій багатьох змінних, векторного аналізу, навчитись обчислювати ряди та добутки, виконувати ітегральні перетворення.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Більшість завдань диференціального й інтегрального числення функцій багатьох змінних розв’язується в Maple тими ж командами, що й для функцій однієї змінної, тільки із вказівкою додаткових параметрів.

Частинні похідні

Для обчислення частинних похідних функції f(x₁,…,x_m) використовується команда diff. У цьому випадку ця команда має такий формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…,xm$nm), де x1,…,xm – змінні, по яких здійснюється диференціювання, а після знаку $ зазначені відповідні порядки диференціювання. Наприклад, частинна похідна записується у вигляді: diff(f,x,y).

Приклад 1.1.

1. Знайти й функції .

> f:=arctan(x/y):

> Diff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Знайти всі частинні похідні 2-го порядку функції .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

Локальні й умовні екстремуми функцій багатьох змінних

Для дослідження функції на локальний і умовний екстремум використовується команда зі стандартної бібліотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), де cond – обмеження для пошуку умовного екстремуму, які записуються у вигляді рівностей. Після обмежень у фігурних дужках вказуються всі змінні, від яких залежить функція f, а потім у лапках записується s – ім'я змінної, якій будуть привласнені координати точок екстремуму. Якщо обмежень не вказувати, то буде здійснюватися пошук локального екстремуму.

На жаль, команда extrema видає всі критичні точки, тобто й ті, у яких екстремума немає. Відсіяти критичні точки, що не дають екстремуму, можна за допомогою безпосередньої підстановки цих точок у функцію, наприклад, оператором subs.

Так само, як і для функції однієїо змінної, найбільше й найменше значення функції багатьох змінних обчислюються командами maximize(f,{x1,…,xn},range) і minimize(f,{x1,…,xn},range), де треба вказувати після функції у фігурних дужках список всіх змінних, від яких вона залежить, а потім інтервали для кожної змінної, що вказують область пошуку найбільшого й найменшого значень.

Якщо потрібно знайти змінні, при яких лінійна функція багатьох змінних має максимум (або мінімум) при виконанні певних обмежень, заданих у вигляді лінійних рівностей або нерівностей, то треба використовувати симплекс-метод. Для цього спочатку необхідно завантажити пакет simplex, а потім скористатися командою maximize (або minimize), де тепер у якості range можна вказувати у фігурних дужках обмежувальну систему нерівностей. Пакет simplex призначений для розв’язання завдань лінійної оптимізації. Після його завантаження команди maximize і minimize міняють свою дію. Тепер ці команди видають координати точок, при яких задана лінійна функція має максимум або мінімум. При цьому допускається додаткова опція для пошуку тільки ненегативних розв’язків NONNEGATIVE.

Приклад 1.2.

1. Знайти екстремуми функції .

> restart: readlib(extrema):

> f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

> extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{0, }

{{x=0, y=0}, {x= y=0}, {x= , y=0}, {x=0, y=1}, {x=0, y=-1}, {x= , y=1}, {x= , y=-1}, {x= , y=1}, {x= , y=-1}}

Вийшло всього два екстремуми, тому очевидно, що f_max=0 і f_min=9/8, причому максимум досягається в точці (0,0). Інші критичні точки треба перевірити. У силу парності функції по обох змінних, можна обмежиться перевіркою критичних точок тільки з позитивними координатами.

> subs([x=1/2,y=1],f);

> subs([x=1/2,y=0],f);

> subs([x=0,y=1],f);

-1

Таким чином, функція має наступні локальні екстремуми: f_max=f(0,0)=0 і f_min=f =f =9/8.

2. Знайти найбільше й найменше значення функції в прямокутнику x=0, y=0, x=1, y=2.

Зауваження: задану область зручніше записувати у вигляді нерівностей: 0<x<1, 0<y<2.

> restart: readlib(maximize):readlib(minimize):

> f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

> maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

17

> minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

-4

Таким чином, функція має найбільше значення f_max=17 і найменше значення f_min=4.

3. Знайти умовні екстремуми функції f(х,у)=xy+yz при x²+y²=2, y+z=2, x>0, y>0, z>0.

> restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

> assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

> simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z},'s'));

{min( RootOf(_Z²+4_Z+1)+ , 0), max( RootOf(_Z²+4_Z+1)+ , 2)}

Незважаючи на попереднє використання команди спрощення виразу simplify, отриманий результат має не аналітичний вид, однак це можна виправити, якщо скористатися командою convert.

> convert(%,radical);

{min , max }

> convert(s,radical);

{{x~=1,z~=1,y~=1},{x~=-1,z~=1,y~=1},

{x~= ,y~= , z~= }}

У цьому випадку команда extrema сама визначила характер екстремумів, однак, у яких точках функція має екстремуми, можна визначити підстановкою.

> subs(s[1],f);

2

> subs(s[2],f);

0

> subs(s[3],f):convert(%,radical):simplify(%);

Таким чином, функція має наступні умовні екстремуми: f_max=f(1,1,1)=2 і f_min=f(1,1,1)=0; третя критична точка є седловою.

4. При яких значеннях змінних функція f(x,y,z)=x+2y+3z має максимум, якщо потрібне виконання умов x+2y3z4, 5x6y+7z8, 9x+10z11, а всі змінні ненегативні?

> restart: with(simplex):

Warning, new definition for maximize

Warning, new definition for minimize

> f:=-x+2*y+3*z:

> cond:={x+2*y-3*z<=4, 5*x-6*y+7*z<=8, 9*x+10*z<=11}:

> maximize(f,cond,NONNEGATIVE );

{x=0, y= , z= }