7.1.2. Закон Кирхгофа

Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновес­ного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел.

Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):

(186)

Для черного тела 1, поэтому из закона Кирхгофа вытекает, что r_,t для черного тела равна r_,t. Таким образом, универсальная функция Кирхгофа r_,t есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимо­сти любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела (при тех же значениях T и ), так как A_,T< 1 и поэтому R_,T < r_,T. Кроме того, из (186) вытекает, что если тело при данной температуре T не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от  до +d, то оно их в этом интервале частот при температуре T и не излучает, так как при A_,T = 0, R_,T = 0.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела (184) можно записать в виде

(187)

Для серого тела

, (188)

где — энергетическая светимость черного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько харак­терным для него, что может служить надежным критерием для определения природа излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

7.1.3 Законы Стефана — Больцмана и Вина

В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к заключению, что интегральная светимость R(T) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры T:

(189)

Н есколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман теоретически получил эту зависимость из термодинамических соображений. Этот закон получил название закона Стефана - Больцмана. Числовое значение постоянной σ, по современным измерениям, составляет

К концу 90-х годов XIX века были выполнены тщательные экспериментальные измерения спектрального распределения излучения абсолютно черного тела. Результаты исследования – зависимость

r(λ, T) излучения черного тела при различных температурах, представлены на рисунке 65. Исследования показали, что при каждом значении температуры T зависимость r(λ, T) имеет ярко выраженный максимум (рис.65). С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн, причем произведение температуры T на длину волны λ_m, соответствующую максимуму, остается постоянным:

или (190)

Это соотношение ранее было получено Вином из термодинамики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина: длина волны λ_m, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре T. Значение постоянной Вина :

При практически достижимых в лабораторных условиях температурах максимум излучательной способности r (λ, T) лежит в инфракрасной области. Только при T ≥ 5·10³ К максимум попадает в видимую область спектра. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на 470 нм (зеленая область спектра), что соответствует температуре наружных слоев Солнца около 6200 К (если рассматривать Солнце как абсолютно черное тело).

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости от температуры имеет вид:

, (191)

где с = 1,30^.10^-5 Вт/(м^2.К⁵). Соотношение (191) – второй закон Вина: максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела прямо пропорционально пятой степени абсолютной температуры.

Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r(λ, T). В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

; (192)

где  = kT - средняя энергия осциллятора с собственной частотой . Для осцил­лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы  = kT.

Сравнение закона распределения энергии по длинам волн r(λ, T) в излучении абсолютно черного тела с формулой Рэлея–Джинса при T = 1600 К приведено на рисунке 66. Из рисунка следует, что формула Рэлея — Джинса согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн (рис. 90). Кроме того, из нее следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость R(T) черного тела должна обращаться в бесконечность, а следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры.

Рисунок 66

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком на основе новой идеи, чуждой классической физике.