4.1.7 Энергия гармонических колебаний

В качестве примера рассмотрим механические колебания. Пусть точка совершает гармонические колебания вдоль оси Х, около положения равновесия, принятого за начало координат, по закону

х = Acos(₀t+₀)

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

W_К = = sin²(₀t+₀) (33)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F:

W_P = - = kx²/2 = cos²(₀t+₀) (34)

Полная энергия

W = W_к + W_р =

Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний являются периодическими функциями времени, а полная энергия гармонического осциллятора не зависит от времени и W= (W_к)_max =(W_р)_max .

Пользуясь аналогией, можно получить выражения для энергий магнитного и электрического полей колебательного контура и его полную энергию:

W_маг = = sin²(₀t+₀) (35)

W_эл= - q²/2С = cos²(₀t+₀) (36)

W = W_маг + W_эл =

W = (W_маг )_тах =( W_эл )_тах ≠ f (t).

4.1.8 Сложение гармонических колебаний

4.1.8.1 Колебания одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющиеся тела могут одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах. Для нахождения результирующего колебания эти колебания надо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

x₁ = A₁cos(₀t+₀₁); x₂ = A₂cos(₀t+ _{0 2}), (37)

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис 5). Так как векторы а₁ , а₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ₀, то разность фаз между ними (_{02 -} ₀₁) остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

x = x₁ + x₂ = Acos(₀t+₀) (38)

В выражении ( 38) амплитуда А и начальная фаза ₀ соответственно задаются соотношениями:

(39)

(40)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний. Проанализируем выражение (39) в зависимости от разности фаз (₀₂—₀₁):

1) (₀₂—₀₁) = 2m ( m = 0,1,2,…), тогда А = А₁+А₂,

т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (₀₂—₀₁) =  (2m+1) (m = 0, 1, 2,...), тогда A = A₁ –A₂, т.е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты  и +. причем  «. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

(41)

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе

 / 2 « , найдем

x = (2Acos t)cos t (42)

Результирующее колебание (104) можно рассматривать как гармоническое с частотой , ампли-туда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

А_б = 2Acos t  (43)

Частота изменения амплитуды А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых, колебаний: _б = .

Характер зависимости (42) показан на рис. 6, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (42), а огибающие их - график медленно меняющейся по уравнению (43) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания S = f(t) можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ₀:

(44)

Представление периодической функции в виде (44) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ₀, 2₀, З₀, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложно­го периодического колебания.