4.1.3 Кинематика гармонических колебаний

Скорость гармонических колебаний некоторой величины Ѕ= Acos(₀t+ ₀) определяется, как первая производная от этой величины по времени:

v = = -A₀sin(₀t+ ) = A₀ cos(₀t+ +/2) (6)

Таким образом, изменения скорости опережают по фазе изменения обобщённого параметра Ѕ на /2.

Ускорение гармонических колебаний:

a = = -A₀²cos(₀t+) = A₀² cos(₀t++), (7)

т.об. изменения ускорения происходят в противофазе с изменениями обобщённого параметра.

4.1.4 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Согласно выражению (7) ускорение гармонических колебаний имеет вид:

= -A₀²cos(₀t+)

или: = - ₀²Ѕ,

отсюда:

+ ₀²S = 0. (8)

О днородное дифференциальное уравнение (8) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Если какой-либо процесс описывается дифференциальным уравнением вида (70), он обязательно носит характер гармонических колебаний.

Решение уравнения (8) имеет вид:

S = A cos(₀t+)

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм (рис. 24). Вектор откладывается из произвольной точки оси Х, под углом ₀, равным начальной фазе, и вращается с угловой скоростью ₀, при этом его проекция Ѕ совершает гармонические колебания . В момент времени t вектор А расположен по отношению к оси Х под углом φ=ω_οt+φ_ο.

4.1.5 Динамика гармонических колебаний

4.1.5.1 Пружинный маятник

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины.

Покажем, что при малых отклонениях от положения равновесия пружинный маятник совершает гармонические колебания.

(9)

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону

Ньютона:

(10)

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

. (11)

Преобразуем выражение (11) к виду:

(12)

Введем обозначение (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим:

(13)

Выражение (13) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Таким образом, действительно, при малых отклонениях от положения равновесия пружинный маятник совершает гармонические колебания.

Так как T = , то период колебаний пружинного маятника можно вычислить по формуле:

. (14)