1.8.2. Знаходження лінійно-незалежних розв’язків, через які виражається всі інші
Означення.
Система лінійно-незалежних розв’язків
називається фундаментальною,
якщо кожний розв’язок системи (1) є
лінійною комбінацією розв’язків
.
Інакше кажучи, фундаментальною системою розв’язків називають максимально лінійно незалежну систему розв’язків.
Зрозуміло, що фундаментальна система існує тільки тоді, коли система (1) має ненульові розв’язки, тобто, коли ранг матриці системи менше кількості невідомих. При цьому система (1) має багато різних фундаментальних систем. Усі ці системи еквівалентні і тому мають однакову кількість розв’язків.
Теорема. Якщо ранг матриці системи лінійних однорідних рівнянь (1) менше числа змінних , то усяка фундаментальна система розв’язків системи (1) складається з розв’язків.
Доведення.
Число
є число вільних невідомих у системі
(1). Нехай вільними невідомими є
.
Розглянемо довільний визначник
порядку
,
що не дорівнює нулю. Запишемо його у
виді:
.
Вважаючи,
що елементи і-
го
рядка цього визначника
є значеннями вільних змінних і обчислюючи
значення невідомих
,
одержимо розв’язки системи (1). Запишемо
їх як вектор
.
Система
векторів
є фундаментальною системою розв’язків
системи (1). Дійсно, ця система лінійно
незалежна, оскільки матриця, рядками
якої є вектори
,
містить відмінний від нуля мінор
порядку
.
Нехай
– довільний розв’язок системи рівнянь
(1). Доведемо, що вектор
лінійно виражається через вектори
.
Позначимо
через
-й
рядок визначника
.
Розглянемо його як
мірний
вектор. Нехай
і вектори
є лінійно незалежні, оскільки
.
Система
мірних векторів
лінійно залежна, оскільки число векторів
у неї більше від їх виміру. Отже, існують
такі числа,
,
що
.
Розглянемо тепер - мірний вектор
.
Вектор
є розв’язком однорідної системи (1) як
лінійна комбінація розв’язків цієї
системи. З попередніх рівностей випливає,
що в розв’язку
значення усіх вільних невідомих
дорівнюють нулю. Однак єдиний розв’язок
системи (1) який одержуємо при нульових
значеннях вільних змінних, є нульовим
розв’язком. Отже,
,
тобто
.
Теорема доведена.
Приклад. Розв’язати лінійну однорідну систему рівнянь
Розв’язання.
Ранг
матриці системи
дорівнює
.
Запишемо два перших рівняння у вигляді:
Розв’язавши цю систему, знайдемо її загальний розв’язок
.
Тут
,
.
Фундаментальна система розв’язків у
цьому випадку складається з двох
розв’язків. Щоб знайти одну з
фундаментальних систем розглянемо два
вектори
і
.
Вважаємо, що вільні невідомі дорівнюють
координатам цих векторів:
Розв’язки
і
,
лінійно незалежні, тому що вектори
і
лінійно незалежні. Оскільки розв’язків
два, то вони складають фундаментальну
систему розв’язків.
1.8.3. Зв’язок між розв’язками однорідних і неоднорідних систем рівнянь
Встановимо зв’язок між розв’язками однорідних і неоднорідних систем рівнянь.
Нехай задана система неоднорідних лінійних рівнянь
(2)
Систему однорідних рівнянь (1), що одержимо із системи(2), унаслідок заміни вільних членів нулями, називають приведеною системою для системи (2).
Залежність між розв’язками систем (1) і (2) виражається наступними теоремами:
Теорема. Сума довільного розв’язку (2) і розв’язку (1) є розв’язком системи (2).