Загальне рівняння лінії

Загальне рівняння першого степеня відносно і має вигляд

. (1)

Тут – довільні числа; при цьому і не можуть бути одночасно рівними нулю.

Розв’язавши рівняння (1) відносно , отримаємо

,

де, вводячи позначення ; матимемо

. (2)

Рівняння (2) є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Р озглянемо часткові випадки (1)

а) , , звідси

або , де .

Це рівняння прямої, яка проходить через початок координат (рис. 3.1).

б) ; , звідси

або , де .

– рівняння прямої, паралельної осі і відтинаючої на осі відрізок (рис. 3.2).

в) ; , звідки

або , де .

є рівняння прямої паралельної осі і відтинаючої на осі відрізок (рис. 3.3).

3.1.2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданім напрямку. Жмуток прямих

П оложення прямої на площині буде цілком визначено, якщо задати кут нахилу прямої до осі абсцис і величину відрізку, відтинаючого нею на осі ординат (рис. 3.4).

Розглянемо направлений відрізок . , .

В иразимо проекції на координатні осі: , .

Тоді отримаємо: .

Звідси , або , або , де .

. (3)

(3) – рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом.

Нехай дана точка і кутовий коефіцієнт , який визначає напрямок прямої, що проходить через точку . Рівняння цієї прямої будемо відшукувати у вигляді .

Підставивши в це рівняння координати точки , отримаємо .

Звідси визначимо : . Тоді

. (4)

Зауваження. Сукупність усіх прямих, що проходять через деяку точку площини, називається жмутком (в’язкою) прямих, а загальна їх точка – центром жмутка.

3.1.3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки. Рівняння прямої у відрізках

Нехай дані точки і . Складемо рівняння прямої, що проходить через ці точки.

Рівняння жмутка прямих, що проходять через точку має вигляд (4).

Щоб виділити з цього жмутка пряму, яка проходить через точку , потрібно щоб координати цієї точки задовольняли рівнянню

(5)

Розв’язавши разом рівняння (4) і (5) і виключивши , отримаємо

(6)

Якщо задано вектор , паралельний деякій прямій, і точку на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

.

Нехай відомі довжини відрізків , . Тоді точка має координати , а точка – . Скориставшись формулою (6), отримаємо:

.

Або поділивши праву частину рівняння почленно і перенісши змінні в ліву частину, матимемо:

. (7)

Рівняння (7) носить назву рівняння прямої у відрізках.

3 .1.4. Кут між двома прямими

Нехай прямі і задані рівняннями і (рис. 3.5).

Позначимо через кут нахилу прямої до осі , а через кут, на який потрібно повернути пряму до співcпадання з . Тоді .

Звідси і, якщо прямі не є перпендикулярними, то

.

Замітимо, що і , отримаємо:

. (8)

Зауваження 1. Формула (8) визначає тангенс кута, утвореного обертанням навколо точки прямої з кутовим коефіцієнтом , до суміщення її з прямою, що має кутовий коефіцієнт .

Зауваження 2. Якщо не встановлено порядку, в якому розглядаються прямі, то можна встановити цей порядок довільно. При цих змінах порядку може змінюватися знак тангенсу кута.

Зауваження 3. Якщо хоча б одна з прямих паралельна осі , то формула (8) не має змісту. В цьому випадку

,

де друга пряма паралельна осі .