1.5. Системи лінійних рівнянь. Матричний метод розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь і формули Крамера

1.5.1. Системи лінійних рівнянь. Основні поняття і означення

Система лінійних рівнянь з змінними має вигляд:

(1)

де , – довільні числа, які називаються відповідно коефіцієнтами при змінних і вільних членах рівнянь.

У більш короткому записі за допомогою знаків підсумовування систему можна записати у виді:

. (2)

Розв’язком системи (2) називається така сукупність чисел , при підстановці яких кожне рівняння системи обертається у правильну рівність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більш одного розв’язку.

Наприклад, система рівнянь – сумісна і визначена, тому що має єдиний розв’язок .

Система – несумісна, а система рівнянь – сумісна і невизначена, тому що має більш одного розв’язку, а точніше нескінченну множину розв’язків .

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, або еквівалентними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

Запишемо систему (1) у матричній формі. Позначимо:

; ; ,

де – матриця з коефіцієнтів при змінних, або матриця системи; – матриця-стовпець змінних; – матриця-стовпець вільних членів.

Оскільки число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці , то їх добуток

є матриця-стовпець. Елементами отриманої матриці є ліві частини системи (1). На основі визначення рівності матриць систему (1) можна записати у виді

. (3)

1.5.2. Система лінійних рівнянь з змінними. Метод оберненої матриці і формули Крамера

Нехай число рівнянь системи (1) дорівнює числу змінних, тобто . Тоді матриця системи є квадратна, а її визначник називається визначником системи.

Розглянемо розв’язок системи двох рівнянь із двома змінними:

, (4)

у якій хоча б один з коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля.

Для розв’язання цієї системи виключимо змінну , помноживши перше рівняння на , друге – на і додамо їх. Потім виключимо змінну , помноживши перше рівняння на , друге – на і також додамо їх. У результаті одержимо систему:

. (5)

Вираз в дужках є визначником системи

.

Позначивши , система (5) прийме вид:

(6)

З отриманої системи випливає, що якщо визначник системи , то система (4) має єдиний розв’язок, визначений за формулами:

, .

Якщо , а (або ), то система (4) несумісна, тому що в цьому випадку приводиться до виду: .

Якщо , то система (4) невизначена і має нескінченну множину розв’язків, тому що в цьому випадку приводиться до виду: .

Для одержання розв’язку системи (1) при в загальному виді припустимо, що квадратна матриця системи невироджена, тобто її визначник . У цьому випадку існує обернена матриця .

Помноживши зліва обидві частини матричної рівності (3) на матрицю , одержимо: . Оскільки , то розв’язком системи методом оберненої матриці буде матриця-стовпець

. (7)

Теорема Крамера. Нехай – визначник матриці системи, а – визначник матриці, отриманий з матриці заміною -го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо , то система має єдиний розв’язок, визначений за формулами:

. (8)

Формули (8) отримали назва формул Крамера.