Геометричні властивості скалярного добутку

5^о. Якщо і , то , коли кут – гострий і , коли кут – тупий.

6^о. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини

,

звідки

.

Щоб перемножити скалярно два вектори, треба один із них помножити скалярно на одиничний вектор, що має напрям другого і отриманий добуток помножити на довжину другого.

2.2.3. Скалярний добуток векторів в координатній формі. Умови перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами

Позначимо через проекції вектора на координатні вісі; а через відповідно проекції вектора . Виразимо скалярний добуток векторів через ці проекції

.

За властивістю дистрибутивності суми векторів перемножуються як многочлени. Отже, матимемо

.

Оскільки – три взаємно перпендикулярних одиничних вектора, то , , , , , .

.

Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків однойменних проекцій.

Умова перпендикулярності двох векторів:

,

тобто

.

Кут між двома векторами обчислюється зі скалярного добутку векторів

.

2.3. Векторний і мішаний добутки векторів

2.3.1. Векторний добуток векторів, його означення, механічний зміст, властивості

Векторним добутком двох векторів і , називається новий вектор довжина якого чисельно дорівнює площині паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площині цих векторів і направлений в той бік, що найкоротший поворот від до біля набутого вектора відбувається проти часової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора (рис. 2.8).

Я кщо то .

Із означення векторного добутку .

Векторний добуток позначається , або .

Векторний добуток дорівнює нульовому вектору в тому і тільки в тому випадку, коли по крайній мірі один з векторів є нульовим, або, якщо ці вектори паралельні (колінеарні). Таким чином, умовою колінеарності векторів є рівність нулю векторного добутку .

Зауваження. Умову колінеарності двох векторів і можна записати так:

.

Якщо вектори і перпендикулярні, то , і тому модуль векторного добутку дорівнює добутку довжин векторів співмножників:

, якщо .

В механіці часто застосовується поняття моменту сили відносно даної точки (рис. 2.9).

Якщо сила прикладена до точки , то моментом сили відносно точки називається вектор , означений за формулою

.

Із означення векторного добутку випливає, що величина моменту дорівнює величині сили, помноженої на відстань точки до прямої, вздовж якої діє сила.

Основні властивості векторного добутку

1. При переміщенні доданків векторний добуток помножується на , тобто

.

2. Векторний добуток має властивість сполучення відносно числового множника, ця властивість відображується наступними формулами

, або ,

тобто, щоб помножити векторний добуток векторів на число, достатньо помножити на це число один із доданків.

3. Векторний добуток підлягає розподільному закону, тобто

.

2.3.2. Векторний добуток векторів в координатній формі

Н ехай задані вектори своїми координатами і . Виразимо через ці вектори векторний добуток векторів.

.

За властивостями 1-3 суми векторів перемножуються як многочлени. Отже, матимемо:

.

Оскільки зображають собою три взаємно перпендикулярних одиничних вектори і обертання від до наводиться з кінця вектора здійснюваним проти часової стрілки, то (рис. 2.10).

; ; .

Отже,

.

Формулу можна записати у вигляді .