2.2.1. Лінійні дії з векторами, заданими розкладом в ортонормованому базисі. Умови колінеарності векторів

Нехай задані два вектора своїм розкладом в ортонормованому базисі

; .

а) При складанні векторів однойменні проекції їх складуються

;

б) Щоб відняти два вектори, треба відняти їх проекції

;

в) Щоб помножити вектор на число треба помножити його проекції на число

.

Умова колінеарності двох векторів є пропорційність їх координат: .

Ділення відрізку в даному співвідношенні

Задача № 1. Знайти координати точки , яка ділить даний відрізок в заданому співвідношенні (рис.2.6).

Розв’язання.

Нехай задані дві точки і , й дано співвідношення , в якому деяка точка ділить спрямований відрізок : .

Знайдемо координати точки .

Н ехай , , – проекції точок , , на вісь . Тоді , тобто відрізки двох прямих, укладених між паралельними площинами, пропорційні.

Із цього прямує, що і модулі векторів задовольняють аналогічному співвідношенню: . Оскільки ; , а за умовою , то рівняння матиме вигляд

;

; ;

.

Для координат і будемо мати:

; .

Поклавши , знайдемо координати середини відрізка

; ; ,

тобто, координати середини відрізка дорівнюють полусумі координат його початку і кінця.

2.2.2. Скалярний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості

Задача № 2. Треба знайти роботу сили , якщо точка, на яку діє сила, здійснила переміщення рівне .

Якщо точка пересувається по напрямку сили, то по означенню, робота сили дорівнює добутку величини сили на довжину переміщення, тобто .

Якщо ж точка пересувається під кутом до напрямку сили, то працює тільки той доданок сили , що має напрям по лінії , а перпендикулярний доданок урівноважиться опором (рис. 2.7).

.

Отже, робота сили дорівнює:

.

Скалярним добутком двох векторів називається число рівне добутку їх довжин, помноженому на косинус кута між ними

,

або

; .

Скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них помноженого на проекцію другого вектора по напрямку першого.

Основні властивості скалярного добутку

В векторному численні величину називають скалярним добутком векторів та тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1^о. Скалярний добуток обертається в нуль в тому і тільки в тому випадку, коли, по крайній мірі, один із векторів є нульовим, або якщо вектори перпендикулярні.

Доведення.

Скалярний добуток дорівнює нулю, якщо і одночасно дорівнюють нулю; або окремо і , чи навпаки і . У випадку, коли вектори-множники не є нульовими, то , тому що за умовою і при , маємо , тобто .

2^о. Скалярний добуток має властивість комутативності . Це випливає із означення.

3^о. До скалярного добутку можна застосувати дистрибутивний закон.

Щоб помножити суму векторів треба помножити кожний доданок, і скласти отримані добутки

.

4^о. Асоціативна властивість відносно множення на число :

.