3.2.3. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Нехай задані дві площини і відповідно рівняннями:

,

.

Двогранний кут між площинами визначається лінійним кутом, що дорівнює куту між нормальними векторами і цих площин. Тоді, використавши формулу скалярного добутку векторів, отримаємо

.

Якщо площини і перпендикулярні, то скалярний добуток їх нормальних векторів дорівнює нулю, тобто рівність

є умова перпендикулярності площин.

Якщо площини і паралельні, то координати нормальних векторів пропорційні, тобто умовою паралельності площин є рівність відносин:

.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точки і паралельно осі .

Розв’язання. Використовуючи дослідження загального рівняння площини, можна записати, що – шукана площина. Підставивши координати точок у це рівняння, отримаємо

.

Тоді , і остаточно

.

Відповідь: .

Приклад 2. Встановити, які з наступних пар рівнянь визначають перпендикулярні площини:

1. і ;

2. і ;

3. і .

Розв’язання. Перевіряємо для кожної пари площин умову перпендикулярності .

Отже,

а) – площини з пункту 1) перпендикулярні;

б) – площини з пункту 2) перпендикулярні;

в) – площини з пункту 3) не перпендикулярні.

Приклад 3. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно площині .

Розв’язання. Оскільки площина проходить через початок координат, то це означає, що треба використовувати рівняння площини, що проходить через точку: . А оскільки площина проходить через початок координат, то точка належить площині, значить

.

Оскільки шукана площина паралельна площини , то , , . Тоді – шукане рівняння площини.

3.2.4. Параметричні рівняння прямої лінії в просторі. Канонічне рівняння прямої лінії в просторі. Рівняння прямої лінії в просторі, що проходить через дві задані точки

П оложення прямої лінії в просторі буде цілком визначено, якщо задамо на прямій визначену точку за допомогою радіус-вектора і вектор (відмінний від нульового), якому пряма паралельна (рис. 3.10).

Вектор – напрямний вектор прямої , тому що , то , тоді

– векторне рівняння прямої лінії.

Оскільки точки і мають координати , , а вектор , то маємо

– параметричні рівняння прямої в просторі.

При одиничному векторі , коефіцієнти стають косинусами кутів , утвореними даною прямою з осями координат , , .

У цьому випадку і

Оскільки , то

; ; .

,

; ; .

; ; .

Замість параметричних рівнянь іноді визначають пряму лінію безпосередньо за допомогою трьох рівнянь першої степені між поточними координатами:

; ; .

Звідси, якщо виключити , одержимо

– канонічне рівняння прямої лінії.

Якщо _{, то .}

– рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

3.2.5. Кут між двома прямими в просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі

Нехай дві прямі в просторі задані своїми рівняннями:

і .

О чевидно, що за кут між ними можна прийняти кут між їх напрямними векторами й або кут, що доповнює його до (рис 3.11)

.

У випадку перпендикулярності двох прямих , тоді

– умова перпендикулярності двох прямих.

У випадку паралельності двох прямих їхні напрямні вектори мають пропорційні координати, тобто

– умова паралельності двох прямих.