Питання для самоконтролю:

1. Скалярні та векторні величини. Лінійні дії з векторами: додавання, віднімання, множення вектора на число. Проекції вектора на осі.

2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Розкладання вектора по ортонормованому базису. Довжина вектора. Напрямні косинуси вектора.

3. Лінійні дії з векторами, заданими розкладом в ортонормованому базисі. Поділ відрізка в даному відношенні. Умови колініарності векторів.

4. Скалярний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

5. Скалярний добуток векторів в координатній формі. Умови перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами.

6. Векторний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

7. Векторний добуток векторів в координатній формі.

8. Мішаний добуток векторів, його геометричний зміст і властивості.

9. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності трьох векторів.

Тести до розділу 2

1. Вказати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами:

а) ; б) ; в) .

2. Вказати формулу косинуса кута між векторами

а) ; б) ; в) .

3. Якими повинні бути вектори і , щоб мало місце співвідношення:

.

4. З’ясувати, які з наведених трійок векторів утворюють базис в просторі :

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

5. Дано точки , , , . Чи можуть вони бути вершинами трапеції?

6. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

7. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах , .

8. Знайти роботу сили при переміщенні її на відстань , якщо , , .

9. Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин: , , .

10. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , .

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Розділ 3. Елементи аналітичної геометрії

3.1. Пряма лінія на площині

3.1.1. Поняття про рівняння лінії. Загальне рівняння прямої на площині і його дослідження

Рівняння між змінними і , якому задовольняють координати любої точки, що лежить на лінії, і не задовольняють координати ні однієї точки, що не лежить на ній, називається рівнянням даної лінії.

Входячи в рівняння координати і довільної точки лінії називаються поточними координатами.

Всяка лінія, розглядувана як геометричне місце точок, визначається рівнянням між координатами її точок. Навпаки, всяке рівняння між двома змінними і , визначає лінію як геометричне місце точок, координати яких і йому задовольняють.

Із розглянутого слідує постановка двох задач:

1. Дано рівняння лінії як геометричне місце точок. Скласти рівняння цієї лінії.

2. Дано рівняння між координатами і . Побудувати лінію, визначену цим рівнянням.

В прямокутній системі координат положення точки визначається її координатами . Множині точок відповідає множина таких пар чисел. Властивість загальна для всіх точок лінії може бути виражена співвідношенням, яке зв’язує координати і цих точок.