Доведення.

Дійсно, нехай – розв’язок системи (2), – розв’язок системи (1). Візьмемо яке-небудь рівняння системи (2), наприклад - е і підставимо в нього замість змінних числа . Отримаємо

Теорема доведена.

Теорема. Різниця двох довільних розв’язків системи (2) є розв’язком приведеної системи (1).

Доведення.

Дійсно, нехай і розв’язки системи (2). Візьмемо яке-небудь рівняння системи (1), наприклад -е і підставимо в нього замість невідомих числа . Отримаємо

Теорема доведена.

З теорем випливає: визначивши деякий частинний розв’язок системи неоднорідних рівнянь (2) і склавши з ним кожний розв’язок приведеної системи (1), одержимо всі розв’язки системи (2). Таким чином, загальний розв’язок неоднорідної системи (2) дорівнює сумі якого-небудь частинного розв’язку цієї системи і загального розв’язку приведеної системи (1).

Приклад. Знайти загальний розв’язок і фундаментальну систему розв’язків однорідної системи.

Розв’язання.

Запишемо перші два рівняння системи:

, тоді

Загальний розв’язок системи буде:

Розглянемо вектори , і .

Тоді ,

Отже, розв’язки , і є фундаментальними розв’язками системи розв’язків.

Питання для самоконтролю:

Матриці. Основні поняття. Види матриць.
Дії з матрицями.
Визначники квадратних матриць. Визначники 2-го та 3-го порядку.
Мінори і алгебраїчні доповнення.
Властивості визначників.
Особливі і неособливі матриці. Обернена матриця.
Ранг матриці. Властивості рангу.
Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці.
Системи лінійних рівнянь. Основні поняття і означення.
Система лінійних рівнянь з невідомими. Матричний метод і формули Крамера для розв’язання систем лінійних рівнянь.
Метод Гаусса.
Система лінійних рівнянь з невідомими. Основні питання теорії лінійних рівнянь.
Умови сумісності та несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі.
Однорідні системи лінійних рівнянь. Теорема про наявність ненульового розв’язку однорідної системи.
Зв’язок між розв’язками неоднорідних та однорідних систем рівнянь.