Розділ 2. Елементи векторної алгебри

2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами. Розклад вектора по ортонормованому базису

2.1.1. Скалярні і векторні величини. Лінійні операції над векторами: складання і віднімання векторів, множення вектора на число. Проекція вектора на вісь

Величини, з якими ми зустрічаємося в механіці, фізиці і в інших прикладних дисциплінах бувають подвійного значення: скалярні і векторні.

Приклади скалярних величин: площа, об’єм, довжина відрізка, маса, час і т.п.

Приклади векторних величин: сила, момент, швидкість, прискорення, і т.п.

Величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком, носить назву – вектора.

Числове значення вектора називається його модулем. Позначається , .

Графічно вектор позначають відрізком зі стрілкою на кінці. Довжина відрізка у вибраному масштабі відповідає модулю вектора. Стрілка вказує напрямок.

Вектор, модуль якого дорівнює одиниці, має назву – одиничного (ще його називають ортом). В подальшому будемо зустрічатися з таким поняттям як ортонормований базис.

Вектор, модуль якого дорівнює нулю, носить назву нульового.

Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однакову довжину, паралельні і направлені в один і той же бік.

Вектори, рівні по модулю, паралельні, але мають напрямки в протилежні боки називаються – взаємо протилежними.

На відміну від векторів, величини які не мають напрямку називаються – скалярами.

Лінійні операції над векторами

1. Додавання векторів

Сумою двох векторів і називають такий третій вектор , який виходить з їх спільного початку, і є діагоналлю паралелограму, сторонами якого служать доданки вектори (рис. 2.1).

Правило додавання векторів: щоб додати два вектора і треба, пересуваючи вектор паралельно самому собі сполучити його початок з кінцем вектора . Тоді сума є вектор, що йде з початку в кінець .

Із правила додавання двох векторів можна отримати правило додавання любої кількості векторів.

Сума любої скінченої кількості векторів зображується відрізком, замикаючим ломану, ланками якої служать доданки вектори. Напрям результуючого вектора береться від початку першого доданку вектора до кінця останнього.

2. Віднімання векторів

Різницею двох векторів і називається такий третій вектор , для якого сума і дорівнює (рис. 2.2).

Таким чином, щоб з одного вектора відняти другий, треба віднести їх до спільного початку і провести вектор із кінцевої точки вектора-від’ємника в кінцеву точку вектора-зменшуваного.

3. Множення вектора на число

Додаючи декілька рівних векторів, тобто повторюючи вектор доданком декілька разів ми приходимо до множення його на додатне ціле число. Згідно означення маємо:

.

При множенні вектора на число довжина вектора множиться на , а напрямок зберігається старий, якщо і змінюється на протилежний, якщо .

Приведемо закони множення вектора на число:

1. ; ; ; ;

2. ;

3. , ;

4. асоціативний закон ;

5. дистрибутивний закон відносно скалярних множників ;

6. дистрибутивний закон відносно векторів .