Перевага методу Гаусса в порівнянні з іншими методами:

• значно менш трудомісткий;

• дозволяє однозначно встановити, сумісна чи ні система, а у випадку сумісності знайти її розв’язок (єдиний або нескінченна множина);

• дає можливість знайти максимальне число лінійно незалежних розв’язків – ранг матриці системи.

Приклад. Методом Гаусса розв’язати систему:

Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи (для зручності обчислень беремо як перший рядок коефіцієнти другого рівняння, у якому коефіцієнт при дорівнює ).

Таким чином, ранг матриці системи .

Залишаємо в лівій частині змінні , котрі беремо за основні (визначник з коефіцієнтів при них (базисний мінор) відмінний від нуля, тобто ). Інші неосновні змінні , переносимо в праві частини рівнянь. У результаті одержуємо систему

Звідси

і

.

Задаючи неосновним змінним довільні значення , знайдемо нескінченну множину розв’язків системи ( ; ; ; ).

Приклад. Знайти всі базисні розв’язки системи попереднього приклада.

Розв’язання. Ранг матриці системи , отже, одне з рівнянь системи, наприклад, третє можна відкинути.

Загальне число груп основних змінних не більше ніж , тому можливі наступні групи основних змінних: ; ; ; ; ; .

З’ясуємо, чи можуть змінні бути основними.

Оскільки визначник матриці з коефіцієнтів при цих змінних, тобто базисний мінор , то можуть бути основними змінними. Міркуючи аналогічно, знайдемо, що з усіх можливих груп основних змінних тільки змінні не можуть бути основними, тому що .

Знайдемо перший базисний розв’язок, взявши в якості основних змінних , а в якості неосновних . Прирівнюючи неосновні змінні до нуля, тобто , одержимо систему рівнянь у виді: , звідси ; , таким чином, перший базисний розв’язок .

Аналогічно знаходяться й інші базисні розв’язки:

; ; і .

1.8. Однорідні системи лінійних рівнянь. Теорема про наявність ненульового розв’язку

1.8.1. Однорідні системи лінійних рівнянь. Теорема про наявність ненульового розв’язку однорідної системи

Лінійне рівняння виду

називається однорідним, якщо в ньому вільний член дорівнює нулю. Відповідно до цього, систему лінійних рівнянь ми назвемо однорідною, якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю. Довільна система лінійних рівнянь має таким чином, вид

(1)

Системи лінійних однорідних рівнянь (1) є частковим випадком розглянутих раніше лінійних систем . Тому для них справедлива теорема Кронекера-Капеллі.

Розглядаючи матрицю системи і розширену матрицю , бачимо, що матриця відрізняється від матриці стовпцем вільних членів-нулів, що не змінює рангу матриці. Отже, , тобто системи однорідних лінійних рівнянь завжди сумісні. Всі однорідні системи лінійних рівнянь мають по крайній мірі нульовий або тривіальний розв’язок .

Для однорідних систем становить особливий інтерес питання про існування ненульових розв’язків.

Позначимо ранг матриці системи (1) через і застосуємо до неї теорему про число розв’язків. Якщо в системі , а її визначник відмінний від нуля, то така система має тільки нульовий розв’язок, як це випливає з теореми і формул Крамера. Виходить, що ненульових розв’язків у цьому випадку немає. Ненульові розв’язки, можливі лише для таких систем однорідних лінійних рівнянь, у яких число рівнянь менше числа змінних або при їхній рівності, коли визначник системи дорівнює нулю.

Таким чином, має місце наступна основна теорема про однорідні системи.

Теорема. Система лінійних однорідних рівнянь має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше числа змінних, тобто при .

Позначимо розв’язок системи (1) у виді рядка .

Розв’язки системи лінійних однорідних рівнянь мають наступні властивості:

1. Якщо рядок – розв’язок системи (1), то і рядок – так само розв’язок цієї системи.

2. Якщо рядки і – розв’язки системи (1), то при будь-яких і їхня лінійна комбінація – так само розв’язок системи.

Переконатися в справедливості зазначених властивостей розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь можна безпосередньо підстановкою їх у рівняння системи.

Зі сформульованих властивостей випливає, що всяка лінійна комбінація розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь також є розв’язком цієї системи. Тому становить інтерес знайти такі лінійно незалежні розв’язки системи (1), через які лінійно виражалися б всі інші її розв’язки.