3.3.4. Парабола

Параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, що називається фокусом і даної прямої, яка називається директрисою (рис.3.19).

В еличина , рівна відстані від фокуса до директриси, називається параметром параболи; пряма що проходить через фокус параболи перпендикулярно її директрисі, називається віссю, а точка перетину параболи з її віссю – вершиною параболи.

За означенням

. (17)

Тоді формула параболи в обраній системі координат буде:

;

;

;

. (18)

(18) – канонічне рівняння параболи.

У залежності від розташування параболи відносно системи координат запишемо її рівняння (рис.3.20, 3.21, 3.22).

Задачі

1. Відстань між фокусами еліпса дорівнює , відстань між його директрисами дорівнює (рис.3.23). Знайти найпростіше рівняння цього еліпса.

Розв’язання.

– директриси;

;

; .

; ; ; .

.

2. Знайти дотичні до еліпса , перпендикулярні до прямої .

Відповідь: .

3. Дано гіперболу . Написати рівняння асимптот.

Відповідь: .

4. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет гіперболи, заданої рівнянням:

а) ;

б)

Відповідь:

а) Дійсна вісь гіперболи дорівнює .

, , .

б) Дійсна вісь гіперболи дорівнює , уявна .

, , .

Питання для самоконтролю:

16. Поняття про рівняння лінії. Загальне рівняння прямої лінії на площині і його дослідження.

17. Рівняння прямої лінії на площині з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку.

18. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках.

19. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої.

20. Загальне рівняння площини та його дослідження.

21. Рівняння площини, що проходить через одну і три точки.

22. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

23. Параметричні рівняння прямої лінії в просторі. Канонічне рівняння прямої лінії в просторі, що проходить через дві дані точки.

24. Кут між двома прямими в просторі. Умова паралельності і перпендикулярності двох прямих в просторі.

25. Точка перетину прямої і площини. Кут між прямою та площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини.

26. Криві другого порядку – коло, еліпс. Півосі, фокуси, ексцентриситет еліпсу.

27. Гіпербола, її канонічне рівняння, півосі, фокуси, ексцентриситет, асимптоти.

28. Парабола, її канонічне рівняння, фокус і директриса параболи.

Тести до розділу 3

11. Вказати рівняння прямої, що проходить через дві точки:

а) ; б) ; в) .

12. Вказати рівняння прямої у відрізках:

а) ; б) ; в) .

13. Знайти координати точки перетину медіан трикутника , де , , .

14. Які з даних прямих перпендикулярні до прямої :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

15. Знайти відстань між паралельними прямими і .

16. Знайти координати центра і радіус кола .

17. Знайти відстань між фокусами еліпса і між фокусами гіперболи .

18. Знайти відповідність між твердженнями відносно двох площин

, (1)

, (2)

прямою і їх ознаками:

1) площини паралельні а) ;

2) площини перпендикулярні б) ;

3) площина (1) і пряма паралельні в) ;

4) площина (1) і пряма перпендикулярні г) .

19. Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

Відповідь: , де …, …, ….

20. Через точку провести площину, перпендикулярну до прямої , .

Відповідь: , де …, …, ….

Відповіді: 1. . 2. . 3. , . 4. ; ; . 5. . 6. , ; . 7. ; . 8. – ; – ; – ; – . 9. ; ; . 10. ; ; .

93