2.3.3. Мішаний добуток векторів, його геометричний зміст, властивості

Векторно-скалярним добутком трьох некомпланарних векторів є число, абсолютна величина якого відповідає об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , як на ребрах. Знак добутку додатний, якщо вектори утворюють систему, однойменну з основною, і від’ємний в протилежному випадку.

Трійка векторів називається впорядкованою, якщо вектори задано у визначеному порядку, тобто вказано який з них є першим, другим і третім.

К ругова перестановка трьох множників векторно-скалярного добутку не змінює його величини (рис. 2.11). Перестановка двох сусідніх множників змінює знак добутку:

.

Запитання:

При яких умовах векторно-скалярний добуток може перетворитися в нуль?

Відповідь:

а) якщо серед множників є хоча б один нульовий вектор;

б) якщо по крайній мірі два з векторів, що перемножуються, колінеарні.

Рівність , є необхідною умовою компланарності векторів .

Властивості мішаного добутку векторів

1. ♦ Мішаний добуток дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли співмножники компланарні.

2. ♦ Якщо в правому в ортонормованому базисі , вектори , , , то мішаний добуток векторів

.

3. ♦ Базис є правим тоді і тільки тоді, коли мішаний добуток .

4. ♦ Якщо в мішаному добутку два множники однакові, то він дорівнює .

5. ♦ Якщо вектори записані у вигляді: ; ; , то

.

6. ♦ Об’єм паралелепіпеду, побудованого на некомпланарних векторах , , , (рис. 2.12) дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів.

7. ♦ Мішаний добуток лінійний по кожному з співмножників.

2.3.4. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності векторів

Нехай дані вектори , , . Знайдемо спочатку проекції векторного добутку , вони дорівнюють:

;

.

Знаючи проекції векторного добутку і проекції співмножника , знайдемо їх скалярний добуток

.

Права частина цієї рівності являє собою розклад визначника третього порядку

.

Використовуючи необхідна і достатня умова, що до компланарності векторів , і запишеться у вигляді:

.

Задача. Дано координати вершин піраміди: , , , .

Потрібно: 1) записати вектори , і в системі орт і знайти модулі цих векторів; 2) знайти кут між векторами і ; 3) знайти проекцію вектора на вектор ; 4) знайти площу грані ; 5) знайти об’єм піраміди .

Розв’язання.

1. Відомо, що довільний вектор може бути представлений у системі орт , , за формулою:

, (1)

де – проекції вектора на координатні осі , а , і – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осей , і .

Якщо дані точки і , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:

; ; (2)

і

. (3)

Підставляючи в (3) координати точок і , одержимо:

.

Аналогічно, підставивши в (3) координати точок і знаходимо:

,

і , знаходимо:

.

Відомо, що модуль вектора , заданого в системі орт формулою (1), обчислюється за формулою:

. (4)

Застосовуючи (4), одержимо:

;

;

.

2. Відомо, що косинус кута між двома векторами дорівнює скалярному добуткові цих, векторів, поділеному на добуток їхніх модулів. Отже,

.

3. Запишемо скалярний добуток векторів і :

.

Оскільки добуток виражає собою проекцію вектора на вектор , то маємо

,

відкіля

.

Вектори і , а також модуль вектора знайдені раніше в п. 1. Підставляючи ці дані в (5), одержимо

.

Таким чином, проекція вектора на вектор дорівнює .

4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор . Тоді, як відомо, модуль вектора виражає собою площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Отже, площа грані дорівнює половині модуля вектора , тобто

.

;

;

(од.²)

Відомо, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах, дорівнює абсолютній величині їхнього мішаного добутку. Якщо вектори, що перемножуються, розкладені по ортонормованому базису

; ; ,

то мішаний добуток цих векторів знаходиться за формулою

. (6)

Застосовуючи (6), визначимо мішаний добуток векторів , і .

.

Отже, об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , дорівнює . Оскільки об’єм шуканої піраміди дорівнює одній шостий об’єму знайденого паралелепіпеда, то

.