Побудова еліпса по точках

П обудуємо два кола з центром на початку координат і радіусами і , рівними відповідно великій і малій півосям еліпса. Проведемо з початку координат промінь під кутом до осі абсцис (рис. 3.15). Нехай й точки його перетину з побудованими колами. – точка перетину прямих, проведених з паралельно осі абсцис і з паралельно осі ординат. Визначимо геометричне місце точок . Точка лежить на еліпсі з півосями і , для якого осі координат є осями симетрії. Тоді, координати точки

, .

Оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові абсциси, а оскільки точка лежить на прямій, що проходить через точку перпендикулярно осі , то точки і мають однакові ординати, тому абсциса точки дорівнює , а ордината . Отже, точка лежить на еліпсі

.

Провівши через точку різні промені, ми зазначеним шляхом побудуємо скільки завгодно точок еліпса.

Параметричні рівняння еліпса

У багатьох задачах буває корисним використання параметричних рівнянь еліпса.

Нехай даний еліпс задається канонічним рівнянням

. (6)

Розглянемо коло

, (7)

яке переходить у даний еліпс в результаті стиску

, . (8)

Нехай – довільна точка даного еліпса (рис. 3.16), – її прообраз на колі (7). Позначимо через кут від додатного напрямку осі до променя .

Тоді ,

і, отже,

, .

Рівняння

,

і є параметричними рівняннями еліпса.

Параметр називається ексцентричним кутом точки еліпса. Якщо задано точку еліпса, то для знаходження треба побудувати коло на більшій осі еліпса як на діаметрі і через точку провести пряму, паралельну малій осі еліпса. Точка перетинання цієї прямої з колом, що лежить по ту ж сторону від більшої осі еліпса, що і точка , є прообразом точки при рівномірному стиску (8); кут від осі до променя і є ексцентричним кутом , що відповідає узятій точці на еліпсі:

.

3.3.3. Гіпербола

Гіперболою – називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до 2-х даних точок, називаних фокусами, є величина стала (ця стала величина повинна бути додатною і менше відстані між фокусами) (рис. 3.17).

Позначимо цю сталу через , відстань між фокусами – . Нехай – довільна точка гіперболи.

За означенням гіперболи:

. (9)

Оскільки

,

то ,

або

.

Піднісши обидві частини останньої рівності до квадрату, одержимо

,

відкіля

.

Підведемо ще раз це рівняння до квадрату

;

;

;

.

Оскільки різниця 2-х сторін трикутника менше 3-ї його сторони, то .

Покладемо

. (10)

Тоді одержимо

,

і остаточно

. (11)

Відзначимо властивості лінії, визначеної рівнянням (11). Ця лінія симетрична щодо осей координат і відносно початку координат.

Оскільки , то для всіх точок кривої справедливо , і немає точок кривої в смузі . Крива складається, отже, з 2-х окремих частин – гілок гіперболи, одна з яких лежить в області , а інша – в області (права і ліва гілки гіперболи).

Число називається як правило дійсною піввіссю гіперболи, число уявною піввіссю. Точки перетинання гіперболи з її віссю симетрії називаються вершинами гіперболи, точки і – її фокусами.

Відзначимо ще одну особливість форми досліджуваної лінії. Розглянемо разом з гіперболою дві прямі: . Легко бачити, що в 1-й чверті (унаслідок симетрії лінії досить розглядати 1-у чверть) при одній і тій же абсцисі ординати точок гіперболи менше ординат відповідних точок прямої .

Дійсно, .

Разом з тим, оскільки

,

то різниця прагне до нуля при необмеженому зростанні , і тому точки гіперболи при необмеженому збільшенні абсцис, як завгодно близько підходять до відповідних точок прямої .

Прямі

, (12)

до яких як завгодно близько при підходять точки гілок гіперболи, називаються асимптотами гіперболи. Легко бачити, що асимптоти гіперболи направлені по діагоналях прямокутника зі сторонами і , симетрично щодо осей симетрії гіперболи.

Якщо уявна вісь гіперболи направлена по осі і має довжину , а дійсна вісь довжиною спрямована по осі , то рівняння гіперболи має вигляд (рис. 3.18):

. (13)

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до її дійсної осі:

. (14)

Для гіперболи, що обчислюється за формулою (13) ексцентриситет обчислюється так:

. (14')

Асимптоти гіперболи (13) обчислюються так само, як і в гіперболи (11) за формулами (12).

Гіперболи (11) і (13) називаються спряженими.

Гіпербола називається рівносторонньою, якщо її дійсна і уявна осі рівні, тобто . Найпростіше рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд:

. (15)

. (16)

Асимптоти гіпербол (15) і (16) взаємно перпендикулярні.