Задача выбора дачи для летнего отдыха

Альтернатива	Критерий
	Качество дачи (комфортность)	Наличие магазина недалеко от дачи	Расстояние от города
А В	Хорошее Среднее	Нет магазина Есть магазин

Первые два условия независимости относились к независимости одного критерия от остальных, третье условие - к независимости пары критериев от прочих.

Судя по литературе, отсутствуют примеры зависимости трех и большего числа критериев от остальных, которая не проявлялась бы в нарушении условия независимости по предпочтению. По мнению известных ученых Г. Фишера и Д. Вин-терфельда [6], появление такой зависимости «неопределенно по своей природе и трудно обнаружимо». В связи с этим понятно особое внимание, уделяемое проверке условия независимости по предпочтению.

4.3. Основные теоремы

Если аксиомы первой группы и некоторые условия независимости выполнены, то из этого следует строгий вывод о существовании многокритериальной функции полезности в определенном виде.

Приведем без доказательств основную теорему многокритериальной теории полезности, на которой основаны практические методы оценки альтернатив [7].

Если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной

либо мультиплитктивной

где U, U_i - функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; w_i — коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0 < wi <1; коэффициент k > -1. Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов w_i, k, а также однокритериальные функции полезности U_i(х).

Полученный теоретический результат является основой метода, неоднократно использованного для решения практических задач. Обсудим приведенные выше этапы применения этого метода, используя в качестве примера задачу выбора площадки для строительства аэропорта.

4.4. Построение однокритериальных функций полезности

Выше был приведен перечень критериев для оценки вариантов постройки аэропорта. Предположим, что после рассмотрения вариантов разброс оценок по критериям может быть представлен табл. 4.2.

Таблица 4.2

Разброс оценок вариантов постройки аэропорта

Критерий	Наихудшее значение	Наилучшее значение
(Ci) Стоимость постройки аэропорта	$ 200 млн	$ 100 млн
(С2) Время поездки от центра города	90 мин.	40 мин.
(Сз) Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям	50 тыс.	5 тыс.

Зная диапазон изменения оценок по каждому из критериев, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каждой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции положим равным единице, а минимальное — нулю.

На рис. 4.1 приведен пример построения функции полезности ЛПР для критерия «Стоимость постройки аэропорта».

Рис. 4.1. Функция полезности для критерия С₁ «Стоимость

постройки аэропорта»

Первоначально известны две точки функции полезности: U($100 млн) = 1, U($200 млн) = 0. Для нахождения промежуточных точек используются типовые лотереи (см. лекцию 2). В лотерее 1 на рис. 4.2 (слева) перед ЛПР ставится следующая задача: «Определите эквивалент определенности для лотереи, имеющей с равными вероятностями (р = 0,5) минимальную и максимальную стоимости постройки». ЛПР предъявляют ряд значений (например, $120 млн, $130 млн и т.д.) и спрашивают: выше или ниже данного значения находится, по его мнению, эквивалент определенности.

Предположим, что ЛПР остановился на значении $160 млн. Тогда делается вывод, что U=0,5 соответствует $160 млн. Аналогично определяются другие значения функции полезности. Так, правая лотерея на рис. 4.2 позволяет определить точку U($130 млн) = 0,85. Идентичным образом строятся функции полезности для каждого из критериев.

Рис 4.2. Типовые лотереи, используемые при построении

функции полезности по одному критерию