4.6. Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев
В MAUT существенно используются веса (коэффициенты важности) критериев. Считается, что ЛПР может найти коэффициенты — числа, которые определяют важность критериев. Отношения между весами критериев устанавливаются поиском точек безразличия на плоскостях двух критериев. В отличие от проверки условий независимости по предпочтению по осям упорядочиваются значения критериев от худших к лучшим.
На рис. 4.5 показана плоскость критериев Ci, Cg. Альтернативы А и К находятся в отношении безразличия, которое определяется так же, как и при проверке условия независимости по предпочтению (см. рис. 4.4).
Рис. 4.5. Определение отношения между весами критериев С1 и С2
В точке равновесия полезности альтернатив равны, что позволяет записать U($200 млн, 40 мин.) = U($170 млн, 90 мин.). Это означает, что критерий стоимости важнее для ЛПР: w1 > w2.
Используя полученные ранее однокритериальные функции полезности (рис. 4.2), находим w2 = 0,4w1. Аналогичным образом определяется соотношение между весами критериев С1 и С3. Пусть w3 = w1, U($150 млн) = 0,6w1. Итак, мы выразили веса всех критериев через вес наиболее важного из них и упорядочили критерии по важности: w1 > w3 > w2.
Для нахождения численного значения веса критерия С1 (и, следовательно, всех критериев) ЛПР предлагается сравнить две стратегии, представленные на рис. 4.6, и определить вероятность р, при которой обе стратегии равноценны. Первая стратегия — это альтернатива, имеющая лучшую оценку по первому критерию и худшую - по двум другим. Вторая стратегия - это лотерея, дающая с вероятностью р альтернативу со всеми лучшими оценками и с вероятностью (1- р) — альтернативу со всеми худшими оценками.
Предположим, что такое р найдено. Тогда U(A) = U(B), или w1 = р. Пусть w1 = 0,55. Тогда w2 = 0,22; w3 = 0,33.
Рис. 4.6. Определение коэффициента w1
4.7. Определение полезности альтернатив
После нахождения весов критериев и построения однокри-териальных функций полезности мы имеем всю необходимую информацию. В соответствии с теоретическими результатами остается установить вид функции полезности. В нашем примере сумма коэффициентов важности критериев
Считая полученное значение достаточно близким к единице, выбираем аддитивную форму представления функции полезности:
Зная оценки альтернатив (вариантов площадок), можем подставить их в эту формулу, определить полезность каждой альтернативы, сравнить полезности и выбрать альтернативу с наибольшей полезностью.
Пусть заданы четыре альтернативы со следующими оценками:
А ($ 180 млн, 70 мин., 10 тыс.);
В ($ 170 млн, 40 мин., 15 тыс.);
С ($ 160 млн, 55 мин., 20 тыс.);
D ($ 150 млн, 50 мин., 25 тыс.).
Подставляя в формулы для вычисления полезности альтернатив значения полезностей оценок и веса критериев, получаем:
U(A)= 0,550,25 + 0,22´0,4 + 0,33´0,89 = 0,52;
U(B) = 0,684; U(C) = 0,66; U(D) = 0,705;
U(D) U(B) U(C) U(A).
Итак, альтернатива D — лучшая.
5. Метод smart - простой метод многокритериальной оценки
Подход, основанный на теории многокритериальной полезности, требует достаточно много усилий при практическом применении. В детальном примере из книги [7] приведено множество вопросов к ЛПР, ответы ЛПР в многочасовом диалоге с консультантом. Как реакцию на сложность методов, основанных на MAUT, можно оценить появление ряда эвристических методов, не имеющих строго математического обоснования, но использующих простые процедуры получения информации и ее агрегации в общую оценку альтернативы.
Одним из наиболее известных методов такого типа является метод SMART [10], предложенный В. Эдвард сом. Метод можно представить как совокупность следующих этапов:
1. Упорядочить критерии по важности.
2. Присвоить наиболее важному критерию оценку 100 баллов. Исходя из попарного отношения критериев по важности, дать в баллах оценку каждому из критериев.
3. Сложить полученные баллы. Произвести нормировку весов критериев, разделив присвоенные баллы на сумму весов.
4. Измерить значение каждой альтернативы по каждому из критериев по шкале от 0 до 100 баллов.
5. Определить общую оценку каждой альтернативы, используя формулу взвешенной суммы баллов.
6. Выбрать как лучшую альтернативу, имеющую наибольшую общую оценку.
7. Произвести оценку чувствительности результата к изменениям весов.
По признанию автора, метод SMART не учитывает возможную зависимость измерений и неаддитивность при определении общей ценности альтернативы [10]. Однако, по его мнению, метод прост и надежен при практических применениях, что более существенно. Проверка чувствительности к изменениям весов позволяет учесть влияние неточностей при измерениях и возможной зависимости между критериями.