5.2.2 Расчеты по уточненной (приближенной) теории

В реальных условиях шатун имеет конечную длину и наше допущение относительно его бесконечности, позволяющее принять и , становится ошибочным в СК с длиной хода от 3м и выше.

Уточненная теория так же пренебрегает кривизной движения точки «В» (движение точки «В» принимается по прямой В₁ВВ₂), но учитывает конечную длину шатуна.

Задача теории – установить более точные (по сравнению с элементарной ), приемлемые для практики формулы по определению пути, скорости, ускорения.

Из элементарной теории:

Из треугольника АОВ (рисунок 18) по теореме синусов:

(34)

sin ψ = (35)

Зная sin ψ, можно определить cos ψ (sin²ψ+cos²ψ=1)

Из формулы (33), заменив sin φ на cos φ, получим:

(36)

(37)

Руководствуясь правилом математики, принятом для малых величин

(38)

получим:

(39)

Подставляя значения в формулу пути, получим

(40)

Путь (41)

Первая производная этого выражения есть скорость

(42)

Вспомним, что

d cos=-sin;

Тогда:

(43)

Ускорение найдем как производную от V_B

(42)

Вспомним, что

В окончательном виде формула ускорения:

(44)

Очевидно, при равенстве плеч балансира движении точки «Д» идентично движению точки «В», а полученные формулы справедливы и для «Д».

В случае разновеликих плеч для точки «Д» в формулы следует вставить соотношение , т.е.

(45)

(46)

(47)

Максимальное значение пути, скорости, ускорения точки подвеса штанг соответственно опишутся следующими уравнениями:

при 𝜑 =180 (48)

при 𝜑=90 и (49)

при 𝜑=0 (50)

Графики ускорений по элементарной (2) и уточненной теории (1)представлены на рисунке 22.

Рисунок 22- График ускорения по уточенной (1) и элементарной (2) теории.

5.2.3. Расчеты по точной теории

При расчетах по точной теории СК рассматривают как шарнирный четырехзвенник (рисунок 15).

Принимают, что кривошип ОА вращается вокруг точки О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω.

Тогда путь точки А:

(51)

где – угол размаха балансира;

К₁ – плечо балансира (длина дуги равна 2 ).

(52)

Рисунок 23- Схема к расчету СК по точной теории.

Линейная скорость точки А направлена перпендикулярно радиусу кривошипа и равна .

Скорость также перпендикулярна плечу балансира ОВ. Для определения скорости представим, что движение шатуна есть вращение в каждый момент вокруг некоторого мгновенного центра. Положение этого центра – точка Р находится на пересечении линий АР и ВР.

Согласно соотношению находим:

(53)

(54)

и тогда , (55)

и по теореме синусов

(56)

Если скорость точки А нам известна и равна ωr , то:

(57)

Это и есть скорость точки В по точной теории.

Ускорение точки В есть, как известно, производная от скорости:

(58)

Для упрощения формулы (58) прибегают к таким рассуждениям.

Ускорение точек А и В можно разложить на тангенциальную (касательную) и нормальную составляющие.

Т.к. кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то касательное ускорение точки А равно 0.

Тогда, интересующее нас касательное ускорении точки В определяется по формуле:

(59)

На рисунке 24 изображены ускорения, рассчитанные по элементарной (1), уточненной (2) и точной (3) теориям для СКН-10-2115.

Максимальное ускорение в начале хода вверх отклоняется от ускорения, определенного по элементарной теории в сторону увеличения на

(на 30%)

Рисунок 24- Графики ускорений, рассчитанные по элементарной (1), уточненной (2) и точной (3) теориям.