2. Основне рівняння мкт газів

Величини, що визначають поведінку окремої частинки в системі, називаються мікроскопічними параметрами (маса, швидкість, кінетична енергія молекули). Величини, які характеризують систему в цілому, називають макроскопічними параметрами (об'єм, тиск, температура). Завдання молекулярно-кінетичної теорії полягає в тому, щоб встановити зв'язок між мікроскопічними і макроскопічними параметрами.

Використовуючи модель ідеального газу, знайдемо тиск газу на стінку посудини. Тиск виникає внаслідок ударів молекул о стінки посудини. Визначається тиск силою, з якою діє газ на одиницю площі поверхні стінки і яка напрямлена перпендикулярно поверхні р = F/S. Щоб знайти тиск газу, потрібно знайти, який імпульс передає газ стінці посудини з одиничною площею за секунду. Будемо вважати, що зіткнення окремої молекули зі стінкою посудини підкоряється законам пружного зіткнення: молекула відскакує від стінки з початковим за модулем імпульсом, а кут її падіння дорівнює куту відбивання. При цьому проекція швидкості молекули, яка перпендикулярна до стінки, змінює свій знак на протилежний, але залишається незмінною за модулем; проекція швидкості паралельна стінці залишається незмінною (рис.1).

Рис. 1. Пружне зіткнення молекули зі стінкою

В результаті зіткнення молекули зі стінкою, проекція її імпульсу на вісь OX змінюється від до (див. рис. 1). Відповідно зміна нормальної компоненти імпульсу молекули буде дорівнювати , де m – маса молекули.

Виділимо деяку площадку S (рис.2). За час Δt з цією площадкою зіштовхнуться всі молекули, що мають проекцію швидкості υ_x, спрямовану убік стінки, і що знаходяться в циліндрі з площею основи S і висотою υ_xΔt.

Рис. 2. Визначення числа зіткнень молекул із площадкою S

Припустимо, що газ знаходиться в стані рівноваги, тобто газ як одне ціле покоїться відносно стінок посудини, а число молекул, що рухаються в довільному напрямку дорівнює числу молекул, що рухаються в протилежний бік. Нехай в одиниці об'єму посудини міститься n молекул, тоді число молекул в об'ємі циліндра – nSυ_xΔt. Але з них лише половина рухається до стінки. Інша половина рухається від неї. Отже, число ударів молекул об площадку S за час Δt дорівнює . Оскільки кожна молекула при зіткненні зі стінкою змінює свій імпульс на величину 2mυ_x, то повна зміна імпульсу всіх молекул, що зіштовхнулися за час Δt із площадкою S, дорівнює . За законами механіки ця зміна імпульсу всіх молекул, що зіштовхнулися зі стінкою, відбувається під дією імпульсу сили F_хt, де F_х – деяка середня сила, що діє на молекули з боку стінки з площею S. Але за третім законом Ньютона така ж по модулю сила діє з боку молекул на площадку S. Тому можна записати:

.

Розділивши обидві частини на SΔt, одержимо:

,

де p – тиск газу на стінку посудини, який дорівнює відношенню нормальної компоненти сили до одиниці площі поверхні.

При виведенні цього співвідношення вважалось, що всі n молекул, які містяться в одиниці об'єму газу, мають однакові проекції швидкостей на вісь ОX. Насправді це не так. Врахуємо відмінність швидкостей молекул та їх проекцій на вісі координат тим, що замінимо величину , що входить у формулу , її середнім значенням .

Оскільки всі напрямки для векторів швидкостей молекул рівноймовірні, середнє значення квадратів їх проекцій на координатні осі рівні між собою (газ ізотропний):

.

Остання рівність випливає з формули:

.

Формула для середнього тиску газу на стінку посудини запишеться у вигляді

.

Його називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів. Воно стверджує: тиск газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії поступального руху молекул, що містяться в одиниці об'єму.