Ефективна площа перерізу
У
явимо
собі частинку В, що летить прямолінійно.
Для того, щоби відбувся процес взаємодії
цієї частинки з іншою частинкою А,
необхідно, щоб частинка В пролетіла від
частинки А на відстані, яка не перебільшує
деяке значення R.
Накреслимо навколо частинки А коло
радіуса R,
площина якого перпендикулярна до
напрямку руху частинки В. Тоді взаємодія
часток А і В відбудеться, якщо прицільний
напрямок руху частинки В, тобто пряма,
що співпадає з напрямком руху її центра,
проходить скрізь коло радіуса R.
Площа цього кола дорівнює:
(1)
і має назву перерізу даного процесу.
На рисунку 1 розглядається випадок, коли в результаті зіткнення трапилося відхилення напрямку руху.
Якщо
уявити зіткнення молекул як зіткнення
твердих куль, то радіус цих молекул
дорівнює
,
оскільки при зіткненні цих куль відстань
між їхніми центрами дорівнює подвоєному
радіусу куль (якщо кулі однакові). Площа
поперечного перерізу такої кулі, тобто
площа її великого кола дорівнює:
Це
означає, що ефективний поперечний
переріз молекул
в 4 рази більший за площу поперечного
перерізу молекули
s.
У зв’язку з поняттям ефективної площі
поперечного перерізу введемо поняття
ефективного діаметру
(відстань між центрами молекул в момент
зіткнення), який дещо більший за дійсний
діаметр молекули
.
За умови
зіткнення вже немає.
Середня кількість зіткнень молекул в одиницю часу
В
ідеальному газі до і після зіткнення
молекули рухаються прямолінійно. Таким
чином, шлях молекули являє собою ламану
лінію. Відстань, яку молекула проходить
між двома послідовними зіткненнями, –
це довжина
вільного пробігу.
Через те, що молекул в газі забагато, нас будуть цікавити тільки середня довжина вільного пробігу та середня кількість зіткнень в одиницю часу. Ці величини – головні характеристики процесу зіткнення молекул газу. Обчислимо їх.
Молекули
будемо вважати твердими пружними
кульками радіуса r.
Припустимо спочатку, що всі молекули
газу, крім однієї, знаходяться в стані
спокою, а вона рухається по прямій (за
умови, що в газі частинки рівномірно
розподілені по об’єму, так що в кожному
кубічному сантиметрі знаходиться n
молекул). Тоді молекула, що рухається,
пройде за 1 секунду відстань, що дорівнює
її середній швидкості
,
і зіткнеться зі всіма молекулами, центри
яких розташовані в об’ємі циліндру
висотою
і з площею основи, що дорівнює ефективній
поперечній площі зіткнення (рис.3).
О
б’єм
цього циліндру дорівнює
,
а кількість молекул в ньому
.
Такою же буде і кількість
зіткнень z,
які відчуває наша молекула:
z = (2)
З
вичайно,
молекула не може рухатися прямолінійно,
якщо вона стикається з іншими молекулами.
Насправді, шлях, що проходить молекула
такий, як, наприклад, на рисунку 4.
А
ле
враховуючи, що рухається не одна, а всі
молекули газу, треба зауважити, що у
вираз (2) для z
повинна входити не абсолютна (відносно
стінок посудини) швидкість молекули, а
її швидкість
відносно тих молекул, з якими вона
стикається. Відносна швидкість молекул,
що рухаються зі швидкостями
и
дорівнює
.
Тоді для абсолютного значення відносної
швидкості отримаємо
,
(3)
де кут - кут між напрямками векторів швидкостей. Оскільки швидкості молекул можуть мати будь-які довільні напрямки, а середні значення їхніх величин у рівноважному газі однакові, то усереднення співвідношення (3) по всіх можливих кутах дає
Вважаючи, що середні квадрати швидкостей молекул пропорційні квадратам середніх значень цих швидкостей, запишемо наступне співвідношення:
(4)
Тоді для середньої кількості зіткнень молекули в одиницю часу отримаємо формулу:
(5)
Або, вважаючи молекули кульками:
(6)
Щоб знайти середню кількість зіткнень, що відчувають всі молекули газу в одиницю часу, треба помножити z на кількість молекул N в газі. А так як у кожному зіткненні беруть участь дві молекули (зустріч одночасно трьох і більше молекул дуже малоймовірна), то це число треба ще поділити на 2, щоб не рахувати кожне зіткнення два рази. Отже повна кількість зіткнень у газі, в якому міститься N часток, дорівнює:
(7)
Таким чином, в одиниці об’єму газу щосекунди трапляється зіткнень:
(8),
де n – кількість молекул в одиниці об’єму.