Середня квадратична швидкість

Середню квадратичну швидкість можна отримати з виразу:

 (40)

Але для отримання даних формул можна використати і поняття функції розподілу:

(41)

Перетворимо цей вираз, підставивши в нього значення ¦(u):

(42)

Інтеграл у цій формулі знайдемо інтегруванням частинами:

, (43)

звідси:

,

тож таким чином:

(44).

Ці ж самі формули ми отримали раніше.

Найбільш ймовірна швидкість

Як вже було відмічено раніше, функція розподілу Максвела ¦(u) приймає максимальне значення при деякому значенні _н, де _н – найбільш ймовірна швидкість молекул.

Для її знаходження продиференцюємо ¦(u) по u і похідну прирівняємо до нуля:

(45)

Порівнюючи вирази (39), (40) і (45), отримаємо такі співвідношення між , і :

= 1,09 = 1,22

Як бачимо значення і близькі до .

Н а графіку функції розподілу f() всі характерні швидкості розташовані таким чином: _н< _сер < _кв (рис. 6). Як видно з графіка, функція розподілу має досить широкий максимум. Це відображає великий розкид в абсолютних значеннях швидкостей молекули, тобто великі флуктуації швидкості (і енергії) однієї молекули. Одна молекула - підсистема, яка містить мале число частинок, тому флуктуації великі.

Розглянемо підсистему з N частинками, тоді повна кінетична енергія системи Е_к дорівнює:

З цих N часток частина молекул, що мають швидкості від  до +d, в силу незалежності буде дорівнювати добуткові ймовірностей:

Ця імовірність має дуже різкий максимум як функція швидкості , при цьому функція розподілу по швидкостях у системі дорівнює:

При великих швидкостях ця імовірність швидко спадає , а при малих поводиться як , таким чином у розподілі одержуємо різкий максимум.

Експериментальна перевірка закону розподілу молекул за швидкостями (метод молекулярних пучків)

Багато явищ у молекулярній фізиці залежить від швидкостей молекул, тому безпосереднє визначення цих швидкостей є дуже важливою задачею. Вперше її вирішив у 1920 році Отто Штерн. У дослідах Штерна використовуються молекулярні пучки – вузькі потоки молекул, які летять у вакуумі прямолінійно без зіткнень.

Розглянемо схему установки для отримання молекулярних пучків (рис 8). Джерелом частинок (атомів) є нагрітий метал у вигляді дроту А (платиновий дріт з напиленим шаром срібла). При проходженні електричного струму через дріт А, він нагрівається і випромінює атоми срібла (температура плавлення ~ 961,9С).

Д ріт розташовується уздовж циліндра, здатного обертатися навколо власної осі. Повітря всередині циліндра викачується до вакууму ~ 10 мм рт.ст., і атоми срібла, проходячи через вузьку діафрагму В, осаджуються на внутрішній поверхні циліндра, стінки якого охолоджуються для більш швидкого осадження срібла.

Коли циліндр нерухомий, то на внутрішній стінці циліндра появляється різке зображення щілини В в точці С. Якщо система обертається (уся система разом: циліндр, екран і дріт), тоді спостерігається зміщене і розмазане зображення щілини, наприклад у точці D. Тоді відстань між зображеннями С и D - S визначається як:

де  - кутова швидкість обертання циліндра, R - його радіус, а t - час проходження атомами срібла відстані L від точки В до поверхні циліндра: . Тоді деяку середню швидкість молекул можна знайти виходячи зі співвідношення:

Таким чином, вимірюючи відстань S зміщення молекулярного пучка, можемо визначити швидкість молекул.

Вже у 1920 році у дослідах Штерна було помічено, що місце (смужка) D, куди попадали молекули при обертанні зовнішнього циліндру було розмитим, на відміну від плями з чітко окресленими границями А при нерухомому положенні зовнішнього циліндру. Це означало, що атоми при однаковій температурі мають різні швидкості. Найбільша густина осадку була там, куди попадала найбільша кількість молекул, які мали однакову швидкість . Ця швидкість (найбільш ймовірна, яку мають найбільше число молекул) виявилась приблизно в 1/3 менше значення середньої квадратичної швидкості .

Безпосередньо закон Максвела був експериментально перевірений Штерном у тому ж 1920 році (пізніше, у1947 році Штерн разом з Істерманом і Сімпсоном провів більш досконалий дослід, а раніше у 1929 році аналітичні досліди провів Ламмерт).

Замість мішені на поверхні циліндру, що обертався, була використана скляна пластина. Судячи з прозорості плями, яка утворювалася при попаданні молекул на зовнішній циліндр, який рухався, можна було підрахувати кількість молекул, утворивших цю пляму, у різних її точках – Тобто так оцінювали розподіл швидкості , , ..., .

РОЗПОДІЛ БОЛЬЦМАНА ТА ЙОГО ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА. РОЗПОДІЛ МАКСВЕЛА-БОЛЬЦМАНА