Стаціонарна теплопровідність

Запишемо загальне рівняння теплопровідності

(1).

Тут – градієнт температури. Отже, (1) можемо переписати так:

(2).

Знак мінус, як і у випадку дифузії, означає, що перенос тепла відбувається в напрямку, протилежному до зміни градієнта температури.

Введемо позначення: – потік теплоти, тобто кількість теплоти, яка під час теплопровідності проходить через площу 1 см² за 1 сек. Тепер (2) запишемо у вигляді

(2).

Рівняння (2) є кількісним виразом закону Фурьє.

Візьмемо за напрямок протікання процесу вісь z. Тоді знизу вгору рухатиметься кількість молекул, яка дорівнює

,

а зверху вниз

.

Відповідно при цьому буде переноситись кількість теплоти

; .

Загальна кількість теплоти, яка буде переноситись при теплопровідності, дорівнюватиме

(3)

Нехай температура газу на рівні площадки S дорівнюватиме Т_S (рис. 1). А температура газу в шарах, які містяться на відстані довжини вільного пробігу від площадки S, відповідно дорівнюватиме:

; .

Нагадаємо, що . Вираз (3) можемо переписати, підставивши замість Е₁ і Е₂ значення через температуру Т₁ і Т₂

,

або

(4).

Прирівняємо

.

Звідси

(5).

Молярна теплоємність при сталому об'ємі дорівнює ,а питома теплоємність

.

Отже,

.

Замість k в (5) підставимо значення. Одержуємо

(6).

Але, тоді можемо записати

(7).

З (7) випливає, що коефіцієнт теплопровідності не залежить від тиску. Справді, Р~, а  , отже  від тиску не залежить. Це можна перевірити за допомогою такого досліду. Візьмемо скляну трубку (рис. 2) з герметичною перегородкою. З обох кінців ця трубка також герметичне закрита корками. Всередині трубки протягнута ніхромова дротинка, через яку пропускають електричний струм. Через відростки (К) трубка з'єднана з атмосферою, тобто в обох частинах трубки тиск повітря однаковий і дорівнює атмосферному. Коли пропустимо електричний струм по ніхромовій дротинці, то побачимо, що розжарення дротинки в обох частинах трубки буде однаковим. Під'єднаємо тепер ліву частину трубки через відросток (К₁) до насоса. Відкачаємо певну частину повітря ї тим самим понизимо дещо тиск у лівій частині трубки порівняно з правою. Пропустивши струм через дротинку, побачимо, що вона знову однаково розжариться в обох частинах трубки. Це і є доказом незалежності теплопровідності газів від тиску.

На цьому прикладі можна виконати, досліди, які показують, що різні гази характерні різною теплопровідністю: легкі гази мають значно більшу теплопровідність ніж важкі. Нехай ліва частина трубки з'єднана з атмосферою, тобто в ній міститься повітря, а праву наповнимо воднем. Пропускаючи струм, побачимо, що дротинка в різних частинах трубки розжарюється неоднаково. Частина дротинки в повітрі буде розжарена значно сильніше, ніж та, яка міститься у водні. Це означає, що теплопровідність водню є більшою, ніж теплопровідність повітря. Саме висока теплопровідність водню приводить до охолодження дротинки, тобто до малого її розжарення.

Коефіцієнт теплопровідності, як показують досліди, залежить від температури. Причому  з підвищенням температури зростає дещо швидше, ніж . Це узгоджується з (7), оскільки . Ми знаємо, що , але й  та с_V залежать від температури. Отже, в результаті  змінюється швидше, ніж .