5.4. Частные производные высших порядков

пусть дана функция z=f(x;y), имеющая частные производные если эти частные производные продифференцировать по х, а затем по у, то получим частные производные 2-го порядка:

производные называются смешанными.

Теорема. Если функция z=f(x;y) и её смешанные частные производные непрерывны в некоторой области D, то эти производные равны друг другу и порядок вычисления не влияет на результат, т.е. .

Пример. Найти смешанные частные производные функции: z=x²y³ - sinx + e^y.

Решение: ;

;

Смешанные производные равны друг другу , т.к. они и сама функция непрерывны при любых значениях х и у.

5.5. Экстремум функции двух переменных

О пределение: Точка М_о(х_о;у_о) называется точкой локального экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных z=f(x;y), если значение функции в точке М_о(х_о;у_о) является наибольшим или наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если функция Z = f(X; Y) достигает экстремума в точке М_о(х_о, у_о), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

.

Определение Точки, в которых частные производные равны нулю называются критическими или стационарными точками.

В связи с тем, что частные производные геометрически определяют угловые коэффициенты касательных, то в критических точках касательные по направлениям х и у параллельны координатным осям, т.к. .

Данное условие является необходимым, но не достаточным условием. Не во всех критических точках имеет место экстремум.

Достаточное условие экстремума

Теорема. Для того, чтобы установить является ли критическая точка М_о(х_о;у_о) точкой экстремума, достаточно найти значения частных производных 2-го порядка в этой точке: и вычислить определитель Δ= =АС - В².

тогда:

1. Если Δ > 0, то функция в критической точке М₀ имеет экстремум, причем, если А < 0, то максимум, а если А > 0, то минимум;

2. Если Δ < 0, то в критической точке М₀ нет экстремума;

3. Если Δ = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: 1)Найдем частные производные 1-го и 2-го порядка:

2)Найдем критические точки, в которых частные производные 1-го порядка равны нулю: - точка М_о(0;3) - критическая;

3)Определим наличие экстремума в критической точке М_о(0;3).

Вычислим частные производные 2-го порядка в критической точке и найдем определитель, составленный из этих производных Δ=АС–В²=4-1=3>0, где

Так как Δ=3> 0 и А=2> 0, то критическая точка М_о(0; 3) является точкой минимума..

4)Найдем значение функции в точке минимума z_min(0;3)=0²+0*3+3² –6*3-3*0=-9

Ответ: z_min(0;3)= -9 - точка минимума.

Отыскание наибольшего и наименьшего значения в замкнутой области

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных z = f(x; y) в некоторой замкнутой области D. Граница области D на плоскости задана уравнением линии у=у(х). Наибольшее и наименьшее значения функция могут достигать либо во внутренних критических точках области, либо на границе области. Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области, приравняв к нулю первые частные производные.

2. Вычислить значения функции во внутренних критических точках.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе всей области.

4. Сравнить значения функции в критических точках внутри области и на ее границе и выбрать наибольшее и наименьшее значения ф ункции.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+2y²-2x-5 в области D, ограниченной сверху - окружностью х²+у²=4, а снизу - прямой у=0.

Решение: Наибольшее и наименьшее значения функции возможны либо внутри области D в критических или стационарных точках, где возможны локальные экстремумы функции, либо на его границе.

1)Найдем критические точки в области D, приравняв нулю частные производные:

x₀=1, у₀=0.

Точка М₀(1;0) - критическая точка, в которой возможен локальный экстремум функции. Найдем значение функции в этой критической точке z(1;0)=1+0-2-5= -6;

2)Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. Исследуем функцию на каждой границе отдельно.

2а)На окружности: х²+у²=4. Радиус окружности - R=

Выразим и подставим в функцию это уравнение. Получим функцию одной переменной: z=x²+2(4-x²)-2x-5 =-x²-2x+3.

Найдем для этой функции критические точки, в которых производная равна нулю: z^/=-2x-2=0  x₀=-1-критическая точка.

Вычислим значение функции в этой точке: z(-1)= -(-1)²-2*(-1)+3 = 4.

2b)На прямой: у=0. Подставим в функцию это уравнение: z=x²-2x-5. Получим функцию одной переменной. Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке -2 х  2, которые будут либо внутри отрезка в критических точках, где возможны локальные экстремумы, либо в граничных точках отрезка при х₁=-2 или х₂=2.

Найдем критические точки функции, где производная равна нулю: z^/=(x²-2x)^/=2х-2=0. Имеем одну критическую точку: х₀=1.

Вычислим значения функции в этой критической точке и в граничных точках х₁=-2 и х₂=2: z(1)=1²-2-5=-6; z(-2)=(-2)² –2*(-2)-5=3; z(2)=2²-2*2-5=-5.

3)Выпишем значения функции во всех критических и граничных точках области: z(1;0)=-6; z(-1)=4; z(1)=-6; z(-2)= 3; z(2)=-5. Выберем наибольшее и наименьшее значения функции z_наиб(-1)=4, z_наим(1;0)= -6. Ответ: z_наиб(-1)=4, z_наим(1;0)= -6.