Метод интегрирования по частям

Пусть U(x) и V(x) - непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке . Рассмотрим дифференциал произведения этих функций . Проинтегрируем это выражение почленно: .

Откуда получаем формулу интегрирования по частям: .

Рассмотрим на примерах.

примеры. Вычислить интегралы.

1.

2.

ИнТинтЕгрирование четных и нечетных функцийна симметричном отрезке

Рассмотрим интеграл вида: .

Представим его в виде: . В первом интеграле сделаем замену переменной , то .

Тогда .

Рассмотрим интегрирование четных и нечетных функций на симметричном интервале:

1) Если f(x) - четная, то f(-x) = f(x), тогда .

2) Если f(x) - нечетная, то f(-x)=-f(x), тогда .

примеры. Вычислить интегралы.

1. .

2. .

7.6. Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

Определенный интеграл может быть применен для решения разнообразных геометрических и физических задач. При этом могут быть использованы две схемы расчета.

Первая схема основана на составлении интегральных сумм и переходе к определенному интегралу как пределу интегральных сумм при неограниченном числе разбиения.

По первой схеме рассмотрены выше задачи - вычисление площади криволинейных трапеций и работы переменной силы, приводящие к понятию определенного интеграла.

Вторая схема решения задач основана на представлении дифференциала искомой величины и последующего его интегрирования.

Рассмотрим вторую схему расчета.

Пусть требуется найти некоторую геометрическую или физическую величину U, которая зависит от параметра х. Этот параметр изменяется в пределах а ≤ х ≤ в.. Далее поступаем по следующей схеме:

1. Задаем в пределах а ≤ х ≤ в параметру произвольное значение х. При этом искомая величина примет значение U(x).

2. Даем параметру бесконечно малое приращение Δх=dx. При этом искомая величина получит приращение ΔU, которое приближенно представим дифференциалом: ΔU≈dU.

3. Выразим дифференциал в виде: dU=f(x)dx , где f(x) - определяемая из условия задачи функция от х. При этом используется допущение, что при изменении параметра х на бесконечно малую величину Δх=dx, изменение искомой величины будет пропорциональным dx , т.е. dU=f(x)dx, где в качестве коэффициента пропорциональности принимается значение функции f(x).

4. Находим искомую геометрическую или физическую величину, интегрируя дифференциал dU в пределах изменения параметра а ≤ х ≤ в : .

В данном случае интеграл выступает в качестве сумматора бесконечно малых приращений искомой величины.

Воспользуемся описанной схемой для расчета ряда геометрических и физических величин.

7.6.1. Расчет площади криволинейных фигур

Пусть на отрезке [а,в] заданы две непрерывные функции , причем для любого х принадлежащего [а, в] .

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также вертикальными прямыми х=а и х=в.

Возьмем на отрезке [а;в], произвольное значение аргумента х и дадим ему бесконечно малое приращение dx. Площадь криволинейной фигуры получит бесконечно малое приращение ∆S, которое мы можем приближенно представить в виде дифференциала площади ∆S≈dS. Дифференциал площади выразим в виде площади прямоугольного элемента с основанием dx и высотой т.е. . Для определения всей площади криволинейной фигуры, заключенной между кривыми проинтегрируем этот дифференциал в пределах [a, в]:

(1) – это формула расчета площади криволинейной фигуры.

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками параболы и прямой линии .

П остроим кривые , задавая значение х в характерных точках:

х	0	±1	±2
у1	2	1	-2
у2	0	±1

Д ля нахождения площади заштрихованной фигуры, определим пределы интегрирования, которыми будут абсциссы точек пересечения этих кривых. Для этого решим совместно систему уравнений:

х₁=-2; х₂=1-абциссы точек пересечения линий, которые будут пределами интегрирования.

Тогда площадь фигуры будет:

Ф ормула (1) является общей для любых фигур, заключенных между заданными линиями у₁(x) и у₂(x).

Если возьмем нижнюю линию у₂(x)=0 – ось абсцисс, то получим формулу расчета криволинейной трапеции, ограниченной кривой у₁(x) и осью абсцисс: .

Д анная формула была получена выше, по первой схеме расчета, исходя из предела интегральных сумм.