Основные действия с матрицами

Пусть даны две матрицы: А= B= .

1. Матрицы равны А=В, если равны их одноименные элементы:a_ij=b_ij

2. Суммой (разностью) матриц (А ± В) называется матрица, определяемая равенством: А±В= ± = .

При суммировании (вычитании) матриц складываются (вычитаются) их одноименные элементы.

3. Произведением числа k на матрицу A называется матрица, определяемая равенством: kA=k = .

При умножении матрицы на число умножаются на это число все элементы матрицы.

4. Произведением матриц АВ называется матрица, определяемая равенством:

АВ= * = .

При умножении матриц элементы строк первой матрицы умножаются на элементы столбцов второй матрицы и суммируются, причем элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки первой матрицы и j-м столбца второй матрицы.

При умножении матриц в общем случае переместительный закон не действует, т.е. АВ≠ВА.

5. Транспонированием матрицы А называется действие, приводящее к замене строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками.

Матрица А^Т= называется транспонированной матрицей для матрицы А= .

Если определитель матрицы А не равен нулю (Δ≠0), то такую матрицу называют невырожденной. Для всякой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А^-1, для которой выполняется равенство: А^-1 А= А А^-1=Е, где Е= - единичная матрица.

6. Обращением матрицы А называется такие действия, при которых получается обратная матрица А^-1

При обращении матрицы А выполняются следующие действия:

1. Вычисляется определитель матрицы Δ≠0;

2. Для каждого элемента a_ij путем вычеркивания i-строки и j-столбца определяются миноры Mij и вычисляются их алгебраические дополнения Aij==(-1)^I+j Mij

3. Cоставляется матрица из алгебраических дополнений (Aij) и транспонируется (Aij)^Т.

4. Составляется обратная матрица по формуле:

А^-1= =

Матричный метод решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных уравнений c n неизвестными, имеющей вид:

(6)

Составим квадратную матрицу системы: А= .

Таблица чисел, состоящая только из одного столбца называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Введем матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов:

Х= .

Используя основные действия над матрицами, систему линейных уравнений (6) можно представить в матричном виде: А*Х = В (7).

Так, для системы с двумя неизвестными матричный вид будет:

А*Х=В  * 

Матричное представление системы позволяет непосредственно получить её решение с использованием обратной матрицы.

Действительно, умножим обе части матричного уравнения (7) на обратную матрицу А^-1, получим: А^-1АХ= А^-1В. Учитывая, что А^-1А=Е - единичная матрица и Е*Х=Х, окончательно получим решение системы линейных уравнений в матричном виде:Х=А^-1*В– это формула решения системы линейных уравнений матричным методом с помощью обратной матрицы.

Пример: Решить систему уравнений матричным методом:

Решение: 1)Составим матрицу системы: А= ;

2)Вычислим определитель системы :

3) Вычислим алгебраические дополнения матрицы системы:

А₁₁=(-1)² =1-12= -11; А₁₂=(-1)³ =-2+9=7 А₁₃=(-1)⁴ =8-3=5

А₂₁=(-1)³ =2+4=6 А₂₂=(-1)⁴ =1-3=-2 А₂₃=(-1)⁵ =-4-6=-10

А₃₁=(-1)⁴ =-6-1=-7 А₃₂=(-1)⁵ =-3+2=-1 А₃₃=(-1)⁶ =1+4=5

4) Составим обратную матрицу:

А^-1= = =

5) Находим матрицу-столбец решений по формуле: Х=А^-1В

= * =

6) Выписываем решение системы: х₀=0; у₀=-1;z₀=2

П роверка: (верно).

Ответ: (х₀=0; у₀=-1;z₀=2) – координаты точки пересечения плоскостей