7.6.2. Длина дуги кривой

Пусть в прямоугольных координатах задана кривая уравнением у=f(x) на отрезке [а, в], где у=f(x) - непрерывная на отрезке функция.

Возьмем на отрезке [а, в] произвольное значение аргумента х и дадим ему бесконечно малое приращение dx, что приведет к приращению dy и приращению длины дуги, которое представим её дифференциалом dL. Дифференциал дуги dL приближенно равен длине секущей, вычисляемой по формуле Пифагора:

Для определения длины всей дуги проинтегрируем ее дифференциал в пределах а ≤ х ≤ в и получим формулу длины дуги кривой: .

7.6.3. Вычисление работы, выполненной действием переменной силы

Данная задача рассмотрена выше по первой схеме расчета через предел интегральных сумм. Рассмотрим эту же задаче по второй схеме.

Пусть тело под действием переменной силы F(x), направленной вдоль оси Ох, перемещается из точки х=а в точку х=в. Требуется определить работу А, совершаемую силой F(x) по перемещению тела вдоль оси Ох из точки х=а до точки х=в. Функция F(x) предполагается непрерывной на отрезке [a,в].

Возьмем на отрезке [a,в] произвольное значение х и дадим ему бесконечно малое приращение dx. Выразим дифференциал работы dA по перемещению тела из точки х в точку x+dx. Предполагаем в виду малости величины dx, значение силы F(x) на этом этапе постоянное. Тогда дифференциал работы равен произведению силы на перемещение, т.е. dA=F(x)dx. Всю работу по перемещению тела из точки х=а в точку х=в находим интегрированием этого дифференциала, т.е. -формула расчета работы переменной силы.

Данная формула получена и по первой схеме расчета через предел интегральныхсумм.

Пример: Электрический заряд е₁, помещенный в начало координат, отталкивает заряд того же знака е₂ с силой (Закон Кулона). Определить работу А силы F при перемещении заряда е₂ из точки х=а в точку х=в.

Решение:

Выразим дифференциал работы dA по перемещению заряда е₂ из произвольной точки x в точку х+dx, предполагая в виду малости dx - F(x)=const. Тогда. dA=F(x)dx.

Вся работа по перемещению заряда е₂ из точки а в точку в определится интегрированием этого дифференциала:

.

8. Несобственные интегралы

Рассмотрим два вида несобственных интервалов:

1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;

2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.

8.1. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования

Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:

Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.

Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.

Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка [a, +∞).

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: , где в>a. При изменении «в» интеграл изменяется, при этом он является непрерывной функцией от «в». Если при в →+∞ существует конечный предел , то этот предел и определяет несобственный интеграл от функции f(x) на интервале [a, +∞) и обозначается: = .

Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае он расходится.

Если f(x) ≥ 0, то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной справа области, заключенной между линиями y=f(x), x=a и y=0. В этом и заключается геометрический смысл несобственного интеграла.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: ;

.

В последнем выражении интеграл сходится, если существуют одновременно оба предела.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Во многих случаях бывает достаточно установить - сходится данный интеграл или расходится и оценить его значение. Для этого полезно знать следующие теоремы, которые мы приведем без доказательства с примерами.