Решение:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А₁. Для этого составим расширенную матрицу А₁ и приведем её к ступенчатому виду.

При приведении матрицы выполним следующие действия:

1. вычтем из 2-ой строки 1-ю строку;

2. вычтем из 3 и 4 строк 1-ю строку, умноженную на 4;

3. умножим 4-ю строку на (-1) и поменяем местами со 2-ой строкой;

4. сложим 3 и 4 строки со 2-й строкой, умноженной соответственно на 5 и 4;

5. вычитаем из 4-ой строки 3-ю и вычеркиваем 4-ю строку с нулевыми элементами.

А₁= ~ ~ ~

~ ~ ~

В результате выполненных действий получили ступенчатую матрицу с тремя ненулевыми строками как в матрице системы (до черты), так и в расширенной матрице. Откуда видно, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3, но меньше числа неизвестных (n=4).

Ответ: т.к. r(A)=r(A₁)=3<n=4, то согласно теореме Кронекера-Капели система совместна, но не определена, имеет бесконечное множество решений.

В связи с тем, что ранг матриц удобно определять путем приведения их к ступенчатому виду, рассмотрим способ решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса

Сущность метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем приведения к ступенчатому виду расширенной матрицы А₁, которая включает до черты матрицу системы А. При этом одновременно определяются ранги матриц А, А₁ и проводится исследование системы по теореме Кронекера-Капели. На последнем этапе решают систему уравнений ступенчатого вида, делая подстановки снизу вверх найденных значений неизвестных.

Рассмотрим применение метода Гаусса и теоремы Кронекера-Капели на примере.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А₁. Для этого составим расширенную матрицу А₁ и приведем её к ступенчатому виду. При приведении выполним следующие действия:

1. вычтем из 2-ой строки 1-ю строку;

2. вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 2;

3. разделим 2-ю строку на (-2),а 3-ю строки умножим на (-1) и поменяем их местами.

А₁= ~ ~ ~

Получили ступенчатую матрицу, у которой число строк равно 3, причем у матрицы системы (до черты) также нет нулевых сток. Следовательно, ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны 3 и равны числу неизвестных, т.е. r(A)=r(A₁)=n=3.. Согласно теореме Кронекера-Капели система совместна и определена, имеет единственное решение.

В результате преобразования матрицы А₁, обнуляя коэффициенты при неизвестных, последовательно исключили их из уравнений и получили ступенчатую (треугольную) систему уравнений:

↔ ↔

Двигаясь последовательно снизу вверх, подставляя решение (х₃=1) из третьего уравнения во второе, а решения (х₂=1, х₃=1) из второго и третьего уравнений в первое, получим решение системы уравнений: х₁=1,х₂=1, х₃=1.

Проверка: ↔ (!) Ответ: (х₁=1,х₂=1, х₃=1).

Метод Жордано-Гаусса

Данную систему можно решить усовершенствованным методом Жордано-Гаусса, который заключается в том, что матрицу системы А в расширенной матрице (до черты) приводят к единичной матрице: Е= с единичными диагональными и нулевыми недиагональными элементами и получают сразу решение системы без дополнительных подстановок.

Решим рассмотренную выше систему методом Жордано-Гаусса. Для этого преобразуем полученную ступенчатую матрицу в единичную, выполнив следующие действия:

1. вычтем из 1-ой строки 2-ю строку;

2. сложим с 1-ой строкой 3-ю строку, умноженную на 3;

3. вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на 4.

А₁₌ ~ ~

Исходная система уравнений свелась к системе: , которая и определяет решение.