7.2. Определенный интеграл

Определение 1. Определенным интегралом от непрерывной на отрезке функции у=f(x) называется конечный предел интегральной суммы = , когда наибольшая длина элементарного отрезка разбиения _{d=max →0}.

Определенный интеграл обозначается: , где -знак интеграла; а и в - нижний и верхний предел интегрирования; f(x) - подинтегральная функция; х - переменная интегрирования.

Исходя из данного определения, выразим пределы интегральных сумм площади криволинейной трапеции и работы переменной силы через определенный интеграл:

-формула расчета площади криволинейной трапеции;

-формула расчета работы переменной силы.

Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Геометрически определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, расположенной под графиком функции у=f(x) на отрезке .

Физически определенный интеграл равен работе по перемещению тела из точки а в точку в под действием переменной силы.

Определение 2. Определенным интегралом от непрерывной на отрезке функции у=f(x) называется число, равное приращению ее первообразной на этом отрезке, которое вычисляется как разность значений первообразной по верхнему минус по нижнему пределу: ,

где - приращение первообразной.

Данная формула называется формулой Ньютона-лейбница, которая позволяет находить определенный интеграл как разность значений первообразной функции.

Последнее определение позволяет связать понятия определенного и неопределенного интегралов. Так, если неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на произвольную константу, то определенный интеграл является приращением первообразной функции на отрезке .

тогда связь между определенным и неопределенным интегралами может быть записана в виде: .

Последняя формула позволяет вычислять определенный интеграл путем предварительного нахождения неопределенного интеграла без произвольной константы и последующего вычисления разности значений первообразной по верхнему минус по нижнему пределам.

Связь между определенным и неопределенным интегралами позволяет перенести ряд основных свойств и методов расчета неопределенного интеграла на определенный.

7.3. Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл инвариантен относительно переменной интегрирования, т.е. не зависит от переменной интегрирования:

( )

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов: .

3. Постоянный множитель может быть вынесен за знак определенного интеграла: .

4. Определенный интеграл меняет свой знак при перестановке пределов интегрирования: .

5. Для любых трех чисел «а», «в» и «с» справедливо равенство:

.

6. Т еорема о среднем. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции у=f(x) равен произведению длины этого отрезка на среднее значение функции в некоторой точке х=с, т.е. , где - называется средним значением функции на отрезке .

Геометрический смысл этого свойства: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной среднему значению функции.

7. Теорема об оценке определенного интеграла.

Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке (а < в), то значение определенного интеграла может быть оценено по формуле: .

Действительно, т.к. и проинтегрируем: .

8. Теорема о сравнении определенных интегралов. Если на отрезке

.