9. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения играют важную роль в решении различных математических задач.

Определение: Дифференциальные уравнения - это уравнения, которые связывают между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные или дифференциалы различных порядков .

в общем виде дифференциальное уравнение n-го порядка записывается как . Порядок уравнения определяется порядком старшей производной.

Пример: - это уравнение 1-го порядка;

- это уравнение 3-го порядка.

9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую производную или дифференциалы у^/(х) или dy и dx.

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно представить как: F(x,y,y^/)=0 или F(x,y, )=0 (1).

Если разрешить его относительно производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 1-го порядка.

К простейшему дифференциальному уравнению 1-го порядка сводится основная задача интегрального исчисления - это отыскание первообразной функции у по ее производной .

Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения: или .

Тогда искомая функция будет найдена интегрированием - это общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Задав произвольной константе С конкретное значение С=С₀, получим частное решение .

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется искомая функция у=у(х,С), которая при любом значении произвольной константы С обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

О пределение Частным решением называется такое решение у=у(х,С₀), которое получается из общего решения при задании определенного значения произвольной константы С=С₀.

ГеометричесКий смысл решения дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых у(х,С) для различных С=С₀,С₁,С₂,С₃, ….

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую с заданным значением С = С₀.

Так как производная определяет угловой коэффициент касательной, то дифференциальное уравнение 1-го порядка задает в каждой точке М(х,у) направление касательной к графикам интегральных кривых.

Таким образом, дифференциальное уравнение 1-го порядка геометрически задает поле направлений касательных, а его решения представляют собой интегральные кривые, в каждой точке которых задано направление касательной.

9.1.1. Задача и теорема коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано уравнение , для которого общим решением служит набор интегральных кривых у=у(х, С).

Задача Коши заключается в отыскании частного решения, удовлетворяющего начальному условию: .

Геометрически начальное условие задает точку М₀(х₀,у₀) на плоскости, а задача Коши сводится к отысканию той интегральной кривой у=у(х,С₀), которая проходит через заданную точку М₀(х₀,у₀).

Для решения задачи Коши предварительно находится общее решение дифференциального уравнения у = у(х, С), а затем в общее решение подставляются начальные условия: х = х₀, у = у₀ в виде у₀ = у(х₀, С). Откуда находится значение произвольной константы С = С₀. А частное решение, удовлетворяющее начальным условиям будет: у = у(х, С₀).

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D, то в любой ее точке М₀(х₀,у₀) существует и причем единственное частное решение у = у(х, С₀), удовлетворяющее начальным условиям .

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

Отметим, что если при интегрировании дифференциального уравнения общее решение получается в виде F(x,y,C)=0, которое нельзя разрешить в явном виде относительно у = у(х,С), то это соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Соотношение F(x,y,C₀)=0 называется частным интегралом.