Теоремы сходимости Для знакоположительных функций

Теорема 1. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0≤f(x)≤g(x) при любом х ≥ а, несобственный интеграл от большей функции сходится, то несобственный интеграл от меньшей функции также сходится. Причем ≤ .

Пример. Исследовать сходимость интеграла: .

Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакоположительных на интервале [0;+] функций имеем: <

Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции: Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.

Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0≤g(x)≤f(x), при любых х ≥ а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.

Пример. Исследовать сходимость интеграла:

Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакоположительных на интервале [1;+) функций имеем: Рассмотрим несобственный интеграл от меньшей функции: . Этот интеграл расходится. Тогда согласно теореме 2 расходится и несобственный интеграл от большей функции:

Теорема абсолютной сходимости Для знакопеременной функции

Теорема3. Если сходится несобственный интеграл , то сходится и несобственный интеграл , в этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример. Исследовать сходимость .

Решение. Подинтегральная функция - знакопеременная. Сравним эту функцию по абсолютной величине с функцией . Для знакоположительных на интервале [1;+∞) функций имеем: 0 . Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции: , который сходится. Тогда, согласно теореме 1 для знакоположительных функций несобственный интеграл от меньшей функции также сходится, а следовательно, согласно теореме 3 абсолютно сходится и несобственный интеграл

Отметим, что первые две теоремы справедливы для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Для знакопеременной функции f(x) можно провести исследования несобственных интегралов по абсолютной сходимости с помощью третьей теоремы и с использованием при этом двух первых теорем.

8.2. Несобственные интегралы второго рода от функций с бесконечными разрывами.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при a≤x<c и c<x≤в, а при х=с функция неопределена или терпит бесконечный разрыв. Это возможно для функций, в знаменателе которых выражение обращается в ноль.

Пример. Функция неопределена и терпит бесконечный разрыв в точке х=с=1, т. к. в этой точке знаменатель обращается в ноль и значение функции стремится в бесконечность.

Определение: Интегралы от функции у=f(x), неопределенной в точке x=c или имеющей в этой точке бесконечный разрыв, называются несобственными интегралами II-го рода, которые определяются с помощью пределов:

Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.

Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.

Отметим, что в первом интеграле функция f(x) неопределена в точке верхнего предела, во втором интеграле - в точке нижнего предела, а в третьем интеграле функция имеет бесконечный разрыв внутри отрезка интегрирования.

Примеры.

В последнем примере оба интеграла расходятся, следовательно исходный интеграл расходится. Однако, если не обратить внимание на точку разрыва х = 0, то можно получить неверный результат. Действительно, , что невозможно.

Если функция f(x), определенная на отрезке [а, в], имеет внутри этого отрезка конечное число точек бесконечного разрыва с₁, с₂, с₃, ... с_n, то интеграл от функции f(x) на [а, в] определяется как сумма несобственных интегралов:

,

который называется сходящимся, если каждый из несобственных интегралов правой части равенства сходится.

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и весь интеграл называется расходящимся.

Для определения сходимости несобственных интегралов II-го рода от разрывных функций и оценки их значений могут быть применены теоремы, аналогичные Теоремам сходимости 1, 2 и 3 для знакоположительных и знакопеременных функций для несобственных интегралов I-го рода с бесконечными пределами.

Для сравнения разрывных функций, стоящих под знаком интеграла, часто берут функцию . Легко проверить, что сходится при 0α<1 и расходится при α ≥ 1. Это же относится и к интегралам типа .

Пример: Определить сходимость .

Решение: Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакополо-

жительных на отрезке [0;1] функций имеем: . Обе функции имеют точку бесконечного разрыва х=0. Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции: , который сходится. Тогда согласно теореме 1 для знакоположительных функций сходится и исходный несобственный интеграл: .