- •Введение
- •Элементы линейной алгебры
- •Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
- •Дадим ряд определений.
- •Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными
- •При этом возможны 3 случая:
- •Матрицы и определители второго порядка
- •Основные свойства определителей
- •Геометрический смысл решения системы уравнений с тремя неизвестными
- •Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка. Матрицы и определители третьего порядка
- •1.2. Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера
- •1.3. Решение системы линейных уравнений с помощью матриц
- •Решение:
- •Метод Гаусса
- •Метод Жордано-Гаусса
- •Основные действия с матрицами
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы
- •2. Элементы Векторной алгебры
- •2.1. Векторные и скалярные величиы
- •2.2. Геометрические методы линейных операций над векторами
- •Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число (скаляр )
- •2.3. Координатная форма векторов
- •2.4. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •2 .5. Определение длины и направления векторов
- •2.6. Скалярное произведение векторов
- •2.7. Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Векторное произведение в координатной форме
- •Элементы аналитической геометрии
- •3.1. Прямая линия на плоскости
- •3.1.1. Общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •3 .1.2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом
- •3.1.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •3 .1.4. Угол между двумя прямыми
- •3.1.5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •3.1.6. Определение длины отрезка прямой и координат его середины
- •3.2. Линии второго порядка
- •3.2.1. Окружность
- •3.2.2. Эллипс
- •3.2.3. Гипербола
- •3.2.4. Парабола
- •4. Введение в математический анализ
- •4.1. Понятие функции и аргумента Математический анализ изучает переменные величины и функциональные зависимости между ними.
- •4.2 Пределы функции в точке и на бесконечности
- •Замечательные пределы и их следствия
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Вычисление пределов
- •4.3. Непрерывность функции и точки разрыва
- •4.4. Производная функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •4.5. Дифференцирование функций
- •Дифференциал функции
- •Основные правила дифференцирования
- •4.6. Производные высших порядков
- •4.7. Исследование функций с помощью производных
- •4.7.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.7.2.Признак монотонности функций
- •Необходимый и достаточный признак монотонности функции
- •4.7.3. Локальные экстремумы функций
- •Необходимый признак существования локального экстремума функции
- •Достаточный признак существования локального экстремума функции
- •4.7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба
- •НеобходимыЙ и достаточныЙ признак выпуклости и вогнутости
- •Необходимый признак существования точек перегиба
- •Достаточный признак существования точек перегиба
- •4.7.5. Асимптоты графиков функций
- •4.7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •Пример выполнения контрольной работы по темам 1-4
- •Контрольная работа
- •Решение:
- •Контрольные вопросы по темам 1-4, выносимые на экзамен
- •5. Функция двух переменных
- •5.1. Предел и Непрерывность функции двух переменных
- •5.2. Частные производные функции двух переменных
- •5.3. Полный и часные дифференциаЛы функции двух переменных
- •5.4. Частные производные высших порядков
- •5.5. Экстремум функции двух переменных
- •Достаточное условие экстремума
- •Отыскание наибольшего и наименьшего значения в замкнутой области
- •6. Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная функция и ее свойства
- •Основные свойства первообразной
- •6.2. Неопределенный интеграл
- •Основные Свойства неопределенного интеграла
- •6.3. Основные методы интегрирования
- •6.3.1. Метод непосредственного интегрирования
- •6.3.2. Метод подстановки или замены переменной
- •6.3.3. Метод интегрирования по частям
- •6.3.4. Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование выражений с квадратным трехчленом
- •6.3.5. Интегрирование иррациональных выражений
- •7. Определенный интеграл
- •7.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •7.2. Определенный интеграл
- •Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •7.3. Основные свойства определенного интеграла
- •7.4. Определенный интеграл с пеРеМенным верхним пределом. Связь между неопределенным и определеннЫм интеграЛами
- •Вывод формулы ньютона-лейбница
- •7.5. Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Метод подстановки или замены переменной
- •Необходимое и достаточное условия интегрируемости функций
- •Метод интегрирования по частям
- •ИнТинтЕгрирование четных и нечетных функцийна симметричном отрезке
- •7.6. Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.
- •7.6.1. Расчет площади криволинейных фигур
- •7.6.2. Длина дуги кривой
- •7.6.3. Вычисление работы, выполненной действием переменной силы
- •8. Несобственные интегралы
- •8.1. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования
- •Теоремы сходимости Для знакоположительных функций
- •Теорема абсолютной сходимости Для знакопеременной функции
- •8.2. Несобственные интегралы второго рода от функций с бесконечными разрывами.
- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •ГеометричесКий смысл решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.1.1. Задача и теорема коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •9.1.2. Основные виды дифференциального уравнения первого порядка дифференциальНые Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •ДифференциальНые Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные дифференциальНые уравнения первого порядка
- •9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •9.2.1. ГеометричесКий смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка
- •9.2.2. Дифференциальные уравнения второГо порядка, допускающие понижение порядка
- •9.2.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •ЛинейныЕ однородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •ЛинейныЕ нЕоднородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (лнду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контрольные вопросы по темам 5-9, выносимые на экзамен
- •Литература
Контрольные вопросы по темам 5-9, выносимые на экзамен
Дать определения функции двух переменных, аргументов, области определения и привести способы задания функции.
Предел функции двух переменных в точке.
Непрерывность функции двух переменных в точке и виды точек разрыва.
Частные производные функции двух переменных и их геометрический смысл.
Дать определения полного и частного дифференциалов функции двух переменных.
Частные производные второго порядка функции двух переменных и привести теорему о смешанных частных производных
Дать определение локального экстремума функции двух переменных и сформулировать необходимый и достаточный признаки существования локального экстремума.
Порядок отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.
Первообразная и основные её свойства.
Неопределенный интеграл и его основные свойства.
Основные методы интегрирования (методы непосредственного интегрирования, замены переменной и интегрирование по частям).
Интегрирование рациональных дробей и иррациональных выражений.
Определенный интеграл и его основные свойства.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Связь между неопределенным и определенный интегралами
Основные методы вычисления определенного интеграла
Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.
Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования.
Несобственные интегралы второго рода от функций с бесконечными разрывами.
Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные и линейные).
Задача и Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Геометрический смысл, задача и Теорема Коши решения дифференциальных уравнений второго порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Литература
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. I и II тома.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., "Наука", 1986 г.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М., "Высшая школа", 1961 г.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., "Наука", 1997г.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. (Учебное пособие для студентов ВТУЗов). М., "Наука", 1987 г.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. (Учебное пособие для студентов ВТУЗов,1и2 т). М., "Высшая школа", 1986 г.
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2001.-656с.: ил.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1989 г.
Щипачев В.С. Основы высшей математики. (учебное пособие для ВТУЗов). М., "Высшая школа", 1989 г.
Колесников А.В. Кратный курс математики для экономистов: Учебное пособие.- М.: ИНФРА-М, 1999.-208с.: ил.
Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. (Учебное пособие для техникумов). М., "Высшая школа", 1973 г.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1.-М.: Финансы и статистика, 2001.-224 с.:ил.
Рузаков В.Я. Математика: Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2000. Ч.1. – 118 с.
Рузаков В.Я. Математика: Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2002. Ч.2. – 115 с.
Неупокоев В.А. Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (разделы: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия и математический анализ). Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. – 55 с
Неупокоев В.А. Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (разделы: функция нескольких переменных, неопределенный, определенный и несобственные интегралы, дифференциальные уравнения). Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. – 47 с
Неупокоев В.А., Пушкарев Е.Д., Круглова Е.С. Теоретический и практический курс по дисциплине «Математика». Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. –54 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
кв. ед. 24