Необходимое и достаточное условия интегрируемости функций

Определение: Функция у=f(x) называется интегрируемой на отрезке , если существует определенный интеграл .

Теорема 1. Для того чтобы функция у=f(x) была интегрируемой на отрезке необходимо, чтобы функция была ограниченной.

Замечание. Любая интегрируемая функция является ограниченной, но не все ограниченные функции являются интегрируемыми, т.е. обратная Теорема не верна.

Теорема 2. Любая непрерывная функция f(x) на отрезке является интегрируемой.

Условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости ее на отрезке .

7.4. Определенный интеграл с пеРеМенным верхним пределом. Связь между неопределенным и определеннЫм интеграЛами

Определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и в представляет собой число, равное площади криволинейной трапеции.

Е сли изменять, например, верхний предел интегрирования, не выходя из отрезка , то величина интеграла будет изменяться, т.е. представлять собой функцию своего верхнего предела. Обозначим интеграл с переменным верхним пределом через Ф(х)= , где t - инвариантная переменная интегрирования; а х в.

Геометрически Ф(х) - представляет переменную площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции. При этом Ф(х) - возрастающая функция - с ростом х площадь криволинейной трапеции увеличивается.

Рассмотрим основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, которая устанавливает связь между производной и интегралом.

Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции у=f(x) по переменному верхнему пределу существует и равна значению подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. .

Таким образом, для любой непрерывной на отрезке функции у=f(x) интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= является первообразной, т.к. .

В связи с тем, что все первообразные для функции у=f(x) отличаются лишь на постоянную величину, то можно написать связь между неопределенным и определенным интегралами в виде: .

Вывод формулы ньютона-лейбница

Если Ф(х) = первообразная для f(x), то любая другая первообразная F(x) отличается от первой на произвольную константу т.е. Ф(х)= =F(x)+C. Приняв х=а, получим Ф(а)= =F(а)+C=0. Откуда С=-F(a). Приняв х=в и подставив С=-F(a), получим: - это формула Ньютона-Лейбница.

7.5. Основные методы вычисления определенного интеграла

Связь между определенным и неопределенным интегралами позволяет перенести основные методы вычисления неопределенного интеграла на определенный интеграл.

Рассмотрим некоторые особенности этих методов.

Метод подстановки или замены переменной

При вычислении определенного интеграла переменную интегрирования х можно заменить на новую, вспомогательную функцию (где u - новая переменная), удовлетворяющую следующим условиям:

1)функция - непрерывно-дифференцируемая функция, ;

2)значения функции не выходят за пределы отрезка при изменении новой переменной в пределах ;

3) . Тогда справедлива формула подстановки или замены переменной: .

Пример: Замечание При замене переменной для вычисления неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной u к старой х. При вычислении определенного интеграла, перейдя к новым пределам интегрирования α и β, обратный переход к старой переменной х не выполняется.