6. Неопределенный интеграл
6.1. Первообразная функция и ее свойства
Дифференцирование и интегрирование являются взаимно противоположными математическими операциями.
При
дифференцировании по исходной функции
F(x)
находится ее производная
,
которая определяет скорость изменения
исходной функции (по известному пути
находится скорость).
При
интегрировании, наоборот, по производной
находится исходная, так называемая
первообразная функция F(x)
( по скорости находится путь).
Определение:
Функция
F(x)
называется первообразной функции f(x)
в некоторой области D,
если в каждой точке этой области ее
производная
или
Пример.
является первообразной для
т.к.
.
Отметим, что задача нахождения первообразной решается неоднозначно.
Так
является также первообразной для
,
где C
– произвольная константа.
Основные свойства первообразной
Сформулируем основные свойства первообразной в виде теорем.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная от функции f(x), то и F(x)+C является также первообразной f(x).
Теорема
2.
Любые две первообразные от одной функции
f(x)
отличаются друг от друга на постоянную
величину
,
где C
– произвольная константа.
Теорема
3.
(Теорема
Коши). Всякая
непрерывная на отрезке
функция f(x)
имеет первообразную F(x).
6.2. Неопределенный интеграл
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех её первообразных F(x)+C.
Неопределенный
интеграл обозначается:
,
где
-
знак интеграла, f(x)
– подинтегральная функция, f(x)dx
– подинтегральное выражение, x
– переменная интегрирования, F(x)
– первообразная, C
– произвольная константа.
Название неопределенный интеграл отражает тот факт, что при интегрировании находим не одну, а целое семейство первообразных функций.
Основные Свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подинтегральной функции:
.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
.
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной константе:
Неопределенный интеграл инвариантен относительно переменной интегрирования и вид первообразной не зависит от переменной интегрирования.
Если
,
то
.
Пример:
.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла:
.
Таблица основных интегралов
1.
,
где u=u(x) 2.
,(
)
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14
,
(a=const)
15.
16.
.
17.
18.
каждую
формулу таблицы можно доказать, используя
первое свойство неопределенного
интеграла:
,
путем дифференцирования правой части
и получения подинтегральной функции.
Докажем, например, формулу 2: . Покажем, что производная от этого интеграла равна подинтегральной функции:
.
6.3. Основные методы интегрирования
6.3.1. Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования заключается в алгебраическом преобразовании подинтегрального выражения и приведении к ряду табличных интегралов.
Рассмотрим метод непосредственного интегрирования на примерах.
Задание. Вычислить интегралы:
пример 1.
пример 2.
пример
3.
