6.3.2. Метод подстановки или замены переменной

Метод подстановки или замены переменной заключается в том, что либо часть подинтегрального выражения заменяют через новую переменную u, либо переменную интегрирования х заменяют через вспомогательную функцию новой переменной u: .

При этом вспомогательная функция должна быть дифференцируемой функцией, т.е. иметь производную: , а также иметь обратную функцию для обратной подстановки в конце вычисления интеграла. Тогда можно записать основную формулу подстановки: .

Рассмотрим метод подстановки на примерах.

Задание. Вычислить интегралы:

пример 1.

пример 2.

пример 3.

пример 4.

пример 5.

6.3.3. Метод интегрирования по частям

Пусть U(x) и V(x) – дифференцируемые функции. Рассмотрим дифференциал произведения этих функций d(UV)=UdV+VdU и проинтегрируем это выражение почленно: или , откуда получаем формулу интегрирования по частям:

Использование этой формулы предполагает, что является более простым, чем

При использовании этого метода надо уметь разбивать подинтегральное выражение на две части U и dV.

Можно выделить две характерные группы разбиения.

Первая группа, к ней относят интегралы вида: , где - многочлен n-ой степени, .

В этой группе , а

Вторая группа, к ней относят интегралы вида: , в этой группе , а

Рассмотрим метод интегрирования по частям на примерах.

Задание. Вычислить интегралы:

пример 1.

пример 2.

пример 3.

При вычислении интеграла неправильную дробь привели к правильной дроби путем деления числителя на знаменатель и выделения целой части: .

Подробнее интегрирование рациональных дробей рассмотрим ниже.

6.3.4. Интегрирование рациональных дробей

Определение: Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называют отношение двух многочленов:

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если наибольшая степень числителя (m) меньше наибольшей степени знаменателя (n), т.е. при m<n, и наоборот, при m n дробь называется неправильной.

Всякую неправильную дробь можно привести к правильной путем выделения целой части при делении многочленов.

Пример.

интегрирование рациональных дробей выполняется путем их разложения на простейшие дроби.

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разлагается на линейные и квадратные сомножители , где х₁, х₂-корни многочлена, можно представить единственным образом в виде суммы простейших элементарных дробей: , где А₁, А₂, М_i, N_i – неопределенные коэффициенты разложения.

Для нахождения коэффициентов разложения необходимо правую часть равенства привести к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей, которые представлены многочленами.

Известно, что многочлены равны друг другу, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х левой и правой частей, получаем систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решив эту систему, находим эти коэффициенты разложения. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить дробь на простейшие дроби: .

1. Данная дробь неправильная. Приведем ее к правильной, разделив многочлены.

= .

2. Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .

3. Разложим правильную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

приравниваем коэффициенты при равных степенях:

П ри

Из (1) М=-А; из (3) N = A – 4. Подставляем в (2) и получаем A+A–4 +A=2;

3A = 6; A = 2; M = - 2; N = - 2.

Подставим полученные коэффициенты и получим дробь

.

Тогда неправильную дробь можно представить в виде:

= =2х + .

Интегрирование рациональной дроби рассмотрим на примере.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Дробь неправильная, которую мы разложили на простейшие (см. выше): =2х + .

Интегрируем рациональную дробь путем интегрирования целой части и простейших дробей.

последний интеграл возьмем отдельно. Этот интеграл содержит квадратный трехчлен: х²+х+1.