Вычитание векторов

Определение: Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор , т.е. .

Геометрически разность векторов это вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , если эти векторы приложены к одной точке. При чем вектор ^{является второй диагональю в параллелограмме.}

Часто вычитание векторов заменяется на сложение с использованием противоположного вектора ( ), при этом применяется метод треугольника.

Умножение вектора на число (скаляр )

Определение: Произведением вектора на число k называется вектор , который

1. коллинеарен вектору , т.е. ║ _;

2. имеет длину ;

3. сонаправлен вектору , если k>0 или противоположно направлен, если k<0.

Геометрически операция умножения вектора на число приводит либо к удлинению (при k>1), либо к укорочению (при 0<k<1), либо к изменению направления на противоположное (при k<0). При этом результирующий вектор всегда коллинеарен вектору , т.е. ║ . Исходя из последнего вытекает условие коллинеарности векторов.

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны , если они пропорциональны друг другу, т.е. выполняется условие: .

Пример: Дан вектор _. Построить вектора 1,5 и -1/3 _.

1,5 -1/3

Свойства операции умножения вектора на число

1. Распределительное свойство относительно суммы (разности) векторов:

;

2. Распределительное свойство относительно числовых множителей:

;

3. Сочетательное свойство относительно числовых множителей:

.

Линейные операции над вектором можно выполнять аналитическим способом с помощью координат векторов, не прибегая к геометрическим построениям.

Перейдем к координатной форме векторов.

2.3. Координатная форма векторов

Введем понятия компоненты и проекции вектора на координатную ось Ох.

Пусть координатная ось Ох задана началом координат (точкой О), положительным направлением оси Ох и единичным масштабным отрезком. Масштаб и положительное направление оси зададим в виде единичного вектора-орта , имеющего единичную длину и направленного вдоль положительного направления координатной оси.

Из начала и конца вектора опустим на ось Ох перпендикуляры. Координаты х_н, х_к - являются координатами проекций Ах и Bx начала и конца вектора.

B

A

х_Н х_К

O x

Определение: Компонентой (или составляющей) вектора на координатную ось Ох называется вектор: , идущий из проекции начала в проекцию конца вектора.

Определение: Проекцией (или координатой) вектора на координатную ось Ох называется число: , равное длине его компоненты , взятое со знаком "+", если направление компоненты совпадает с положительным направлением координатной оси и со знаком "–", если направление компоненты противоположно положительному направлению координатной оси Ох.

Если известны координаты начала х_н и конца х_к вектора, то проекция или координата вектора определяется как разность координат конца и начала . Если известен угол наклона вектора к координатной оси Ох, то проекция вектора , где - модуль (длина) вектора, - угол наклона.

Компоненту вектора на координатную ось можно выразить через проекцию в виде: - это формула связи компоненты и проекции вектора.

Рассмотрим вектор на плоскости в прямоугольной системе координат Оху, которая задана началом координат (точкой О) и единичными векторами–ортами , определяющими масштаб и положительные направления координатных осей.

Взаимно перпендикулярные (ортогональные) единичные векторы–орты образуют прямоугольный базис.

Любой вектор в этой системе может быть разложен на две составляющие компоненты и представлен в виде их суммы: .

В ыразим компоненты вектора через соответствующие проекции:

и ,

где - единичные векторы-орты;

и - проекции вектора на оси и , которые называются координатами вектора.

Тогда вектор на плоскости можно выразить в координатной форме в виде: ,

где ( ) и ( ) –координаты начала и конца вектора. Это полная координатная форма векторов.

Можно использовать сокращенную координатную форму векторов:

Если рассматривать вектор в трехмерном пространстве, то в прямоугольной системе координат Охуz вектор раскладывается на три составляющие компоненты и представляется в виде их суммы:

.

Выразим компоненты через координаты вектора: , , ,

где - единичные векторы-орты, определяющие масштаб и положительные направления координатных осей , и ;

, , - проекции или координаты вектора.

Получим координатную форму вектора в трехмерном пространстве:

.

Можно также использовать сокращенную координатную форму вектора: .

Далее для простоты и удобства построения в линейных операциях будем рассматривать векторы на плоскости. При переходе к трехмерному пространству добавляется лишь третья координата вектора.