II. Фінансові обчислення на основі складних процентів
2.1. Капіталізація складних процентів
Якщо у кінці кожного інвестиційного періоду до основної суми грошей додаються нараховані проценти й отримана таким чином сума грошей є вихідною для нарахування процентів у наступному періоді, то нараховані в кінці терміну проценти називаються складними процентами.
Сума грошей, яка є сумою доданків основної суми грошей та нарахованих на неї процентів, називається нарощеною, або акумульованою, сумою.
Як і раніше, під основною сумою грошей ми розумітимемо величину капіталу, яка інвестується під проценти. Таким чином, складні проценти за період можна розбити на суму двох доданків: процентів на початковий капітал та процентів від процентів за попередній період.
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1.
Інвестор поклав на банківський рахунок 15 тис. грн. на чотири місяці за ставкою 6 % у місяць. Знайти нарощену суму в кінці терміну за складними процентами.
Дано: P = 15000 грн. t = 4 міс. i = 6 % |
Розв’язок Проценти за перший місяць становитимуть: 15 000 ´ 0,06 = 900 (грн.) Нарощена сума в кінці першого місяця становитиме: 15 000 + 900 = 15 900 (грн.) Проценти за другий місяць становитимуть: |
S - ? |
15
900 ´
0,06
|
954 (ггрнн.)
Нарощена сума в кінці другого місяця становитиме:
15 900 + 954 = 16 854 (грн.)
Проценти за третій місяць становитимуть:
16 854 ´ 0,06 = 1 011,24 (грн.)
Нарощена сума наприкінці третього місяця становитиме:
16 854 + 1 011,24 = 17 865,24 (грн.)
Проценти за четвертий місяць становитимуть:
17 865,24 ´ 0,06 = 1 071,91 (грн.)
Нарощена сума грошей в кінці терміну (четвертий місяць):
17 865,24 + 1071,91 = 18 937,15 (грн.).
Легко помітити, що інвестування на певний термін часу (наприклад, рік) за складними і простими процентами призводить до однієї й тієї ж нарощеної суми грошей. Отже, нарахування складних процентів рівнозначне нарахуванню простих процентів при реінвестуванні засобів наприкінці кожного періоду.
Нехай S - нарощена сума грошей за складними процентами;
P - початковий капітал клієнта;
i - річна процентна ставка (в коефіцієнтах);
t - термін (у роках), що відповідає процентній ставці;
n - загальний термін інвестування.
Тоді справедлива така формула:
S = P (1 + і)n (2.1)
Множник (1 + i)n називають множником нарощення, або процентним фактором майбутньої вартості. У зарубіжній літературі його позначають абревіатурою FVIF (i; n) – Future Value Interest Factor, а значення множника нарощення можна знайти у спеціальній таблиці складних процентів (Додаток 2). Використання такої таблиці значно прискорює обчислення.
Скажімо, щоб отримати значення множника нарощення за 10 років зі ставкою 12 %, тобто (1 + 0,12)10, достатньо в таблиці складних процентів для FVIF (i; n) знайти відповідне число:
FVIF (12 %; 10) = 3,1058.
Тепер формула (2.1) матиме вигляд:
S = P ´ FVIF (і; n) (2.1¢)
ПРИКЛАД 2.
100 тис. грн. інвестовано на 3 роки під 7 % річних. Обчислити складні проценти, нараховані в кінці терміну.
Дано: P = 100 000 грн. n = 3 р. i = 7 % |
Розв’язок За формулами (2.1) або (2.1¢) S = 100 000 ´ (1,07)3 = 100 000 ´ FVIF (7 %; 3) = 122 504,3 (грн.) I = 122 504,3 - 100 000 = 22 504,3 (грн.) |
I - ? |
|
Побудуємо графік залежності нарощеної суми грошей для фіксованих процентних ставок при початковій інвестиційній сумі, що дорівнює 1:
Рис. 8.