2.2. Номінальна та ефективна ставки процентів

При укладенні фінансових контрактів переважно фіксується річна процентна ставка. Але при цьому проценти можуть нараховуватися за півроку, квартал, місяць, день.

У такому разі використовують річну ставку, яка називається номінальною.

Визначення. Річна сумарна ставка складних процентів при нарахувані процентів m разів на рік називається номінальною ставкою.

Нехай P - початкова сума грошей;

j - номінальна процентна ставка;

m - кількість нарахувань процентів у році;

t - термін у роках.

Тоді нарощена сума грошей S за період t обчислюється за формулою:

S = P ´ (2.2)

Ця формула легко отримується із формули (2.1),

де i = - ставка за один період нарахування;

n = m ´ t - загальна тривалість терміну інвестування.

Приклад 3.

Знайти нарощену суму грошей та складні проценти, якщо 13 тис. грн. інвестовано на 2 роки за процентною ставкою 10 % при нарахуванні процентів:

а) раз у рік; б) щопівроку; в) щокварталу; г) раз на місяць.

Розв’язок.

а) m = 1; t = 2;

За формулою (2.2)

S_а = 13 000 ´ = 13 000 ´ FVIF (10 %; 2) = 15 730 (грн.)

I_а = S - P = 15 730 - 13 000 = 2 730 (грн.)

б) m = 2; t = 2;

S_б = 13000 ´ = 13000 ´ FVIF (5 %; 4) = 15801,58 (грн.)

I_а = S - P = 2 801,58 (грн.)

в) m = 4; t = 2;

S_в = 13 000 ´ = 15 839,23 (грн.)

I_в = S - P = 2 839,23 (грн.)

г) m = 12; t = 2;

S_г = 13000 ´ =15865,08 (грн.)

I_г = S - P = 2865,08 (грн.)

Результати прикладу 3 свідчать про те, що зі збільшенням кількості нарахувань процентів у році зростає абсолютний річний прибуток. Реальна прибутковість або, іншими словами — норма прибутку інвестицій, виражається річною ефективною процентною ставкою.

Визначення. Річна ставка складних процентів, еквівалентна номінальній при нарахуваннях процентів m разів на рік, називається ефективною ставкою і позначається і або і_е.

Річна ефективна ставка пов’язана з номінальною ставкою співвідношенням, яке випливає із порівняння правих частин формул (2.1) та (2.2):

1 + і = .

Звідси

(2.3)

де: і - річна ефективна ставка;

j - річна номінальна процентна ставка;

m - кількість нарахувань процентів у році.

Потреба в оцінці необхідності ефективної процентної ставки зумовлена тим, що вона дає змогу уникнути непорозумінь при отриманні кредиту чи при інвестуванні.

Покажемо, що наведена формула насправді означає річну процентну ставку.

Якщо I, S, P - проценти за рік, нарощена сума та початковий капітал, тоді

I = S - P.

Звідси

I = P ´ - P.

Отже, ефективна ставка за один рік визначається формулою:

і = = - 1.

ПРИКЛАД 4.

Обчислити річну ефективну процентну ставку, яка еквівалентна номінальній ставці 12 % за щоквартальним нарахуванням процентів.

Дано: j = 12 % m = 4	РОЗВ’ЯЗОК За формулою (2.3) і = - 1 = 0,1255. Отже, ефективна ставка приблизно дорівнює 13 %.
i - ?

З формули (2.3) можна отримати формулу для обчислення номінальної ставки, якщо відома ефективна ставка та кількість нарахувань процентів у році (m):

j= m ´ (2.4)

Визначення. Процентні ставки за певний період часу називаються еквівалентними, якщо відповідні їм річні ефективні ставки рівні між собою, тобто виконується рівність:

. (2.5)

У цій рівності m₁ - кількість періодів нарахувань за ставкою i₂ за один період у році, m₂ - кількість періодів нарахувань за ставкою i₂ за один період у році.

Умова еквівалентності для номінальних процентних ставок має вигляд:

(2.5¢)

ПРИКЛАД 5.

Обчислити номінальну процентну ставку, за якою проценти нараховуються щопівроку, причому вона еквівалентна номінальній ставці 12 % із щомісячним нарахуванням процентів.

Дано: m2 = 2 j2 = 12 % m12 = 12	Розв’язок Нехай j2 - процентна ставка, що відповідає нарахуванням за піврііччя, а j12 - за місяць. Отож, за формулою (2.5¢): = =
j1 - ?	звідки j2 = ( 12 - 1) ´ 2 = (1,016 - 1) ´ 2 = 0,1230, тобто j2 = 12,3 %.