3.2. Рівняння еквівалентності

Дуже часто ми маємо справу не з однією виплатою, а з послідовністю платежів, розподілених у часі. Для кожної виплати з цієї послідовності легко знайти еквівалентне значення. Проблема полягає в тому, щоб визначити еквівалентне значення для послідовності виплат у цілому. Всім зрозуміло, що дане значення повинно залежати від процентної ставки та моменту часу, до котрого відноситься задане значення. При збільшенні чи зменшенні однієї з виплат еквівалентне їй значення повинно також збільшуватися чи зменшуватись на величину еквівалентного значення у фіксований момент часу.

Визначення. Еквівалентним значенням послідовності розтягнутих у часі виплат за ставкою складних процентів та у фіксований момент часу називається сума грошей, зведених до даного моменту часу, еквівалентних виплат за ставкою і вказаної послідовності платежів.

Це визначення можна зобразити графічно:

Рис. 13.

З цього рисунку ми бачимо, що

(3.1)

Отже, сума грошей S_t - еквівалентне значення за ставкою і в момент часу t для послідовності n виплат з інтервалом через рік.

ПРИКЛАД 2.

Для послідовності із чотирьох виплат розміром 1 500 гривень кожна, очікуваних через рік, три роки, шість років та десять років знайти еквівалентне значення за ставкою 10 % річних: сьогодні; через два роки; через шість років.

Розв’язок.

Спочатку намалюємо часову діаграму виплат:

Рис. 14.

1) S₀ = 1500 (1,1) ^-1 + 1500 (1,1) ^-3 + 1500 (1,1)^-6 + 1500 (1,1) ^-10 = 3915,63 (грн.)

2) S₂ = 1500 (1,1)¹ + 1500 (1,1)^-1 + 1500 (1,1)^-4 + 1500 (1,1)^-8 = 4737,91 (грн.)

3) S₆ = 1500 (1,1)⁺⁵ + 1500 (1,1)⁺³ + 15000 + 1500 (1,1)^-4 = 6936,75 (грн.)

Має місце така властивість еквівалентності:

Якщо дві суми грошей еквівалентні за фіксованою ставкою складних процентів одній і тій же послідовності виплат для різних моментів часу, тоді вони будуть еквівалентними між собою за тією ж процентною ставкою. Доведемо цю властивість для послідовності із трьох виплат. Часова схема виплат нехай має вигляд:

Рис. 15.

Нехай С - сума грошей, еквівалентна послідовності виплат А₁, А₂, А₃ за ставкою процентів у момент часу , D - сума грошей, еквівалентна тій же послідовності виплат за ставкою і в момент часу _. Випишемо тепер рівняння еквівалентності:

Для моменту часу :

Помножимо першу з виписаних рівностей на , звідки отримаємо, що

C ´ = D.

Отримана рівність саме й означає еквівалентність сум грошей С та D за ставкою і.

ПРИКЛАД 3.

Борг необхідно повернути двома платежами розміром 2000 гривень у кінці другого року та 4500 гривень - у кінці п’ятого року. Знайти еквівалентну цим виплатам суму одноразового платежу при нарахуванні 15 % річних: 1) сьогодні; 2) у кінці четвертого року.

Розв’язок.

Діаграма виплат буде такою:

Рис. 16

1) Випишемо рівняння еквівалентності для теперішнього часу:

S₀ = 2000 ´ (1,15)^-2 + 4500 ´ (1,15)^-5 = 3749,6 (грн.)

2) Рівняння еквівалентності на кінець четвертого року:

S₄ = 2000 ´ (1,15)² + 4500 ´ (1,15)^-1 = 6558,2 (грн.)