3.3. Нееквівалентні платежі
Нехай Аt - грошова сума, еквівалентна за ставкою і в момент часу t грошовій сумі А, а Вt - відповідно, грошова сума, еквівалентна за ставкою і в момент часу t сумі В. Будемо вважати, що
At ¹ Bt.
Тоді із властивостей еквівалентності грошові суми At і Bt, які є еквівалентні сумам А та В у довільний момент часу , будуть різними, тобто
=
At
´
=
= Bt
´
.
Слід
зазначити, що різниці сум грошей
–
та
–
будуть еквівалентними для довільних
моментів t,
t1.
Це випливає з таких рівностей:
– = ´ – ´ ¹ ( – ) ´ .
ПРИКЛАД 4.
Необхідно порівняти два боргових зобов’язання.
1) Борг 150 тисяч гривень плюс складні проценти за ставкою 12 % річних.
2) Борг 120 тисяч гривень плюс складні проценти за ставкою 16 % річних при нарахуванні процентів два рази на рік.
Термін погашення - два роки.
Порівняння треба провести: а) для поточного моменту часу; б) у кінці першого року; в) у кінці другого року.
Розв’язок
Нехай Аі, Вi - значення першого та другого боргу на час і.
а) А = 150 тис. грн. В = 120 тис. грн. Різниця 150 – 120 = 30 (тис. грн.)
б)
А1
=
150 000 ´
1,12 = 168 000 (грн.), В1
= 120
= 139,968 (тис. грн.)
А1 – В1 = 168000 – 139968 = 28032 (грн.).
в)
А2
=
150 ´
1,122
= 188 160 (грн.), В2
= 120000 ´
= 163258,68 (грн.)
А2 – В2 = 24901,32 (грн.)
Отже, різниця між платежами зменшується, щодалі від початкового моменту
3.4. Еквівалентність потоків платежів
Дуже важливою практичною задачею фінансових розрахунків є заміна однієї послідовності платежів іншою послідовністю, еквівалентною заданій. Нехай надано кредит на суму 80 тис. гривень терміном два роки під 12 % складних процентів річних. Борг ми можемо погасити виплатою 100 352 гривні в кінці терміну або еквівалентною послідовністю із двох виплат: 47 335,85 грн. у кінці першого року та 47 335,85 грн. - у кінці другого року.
Часова схема в цьому разі є такою (рис. 17):
Рис. 17.
У загальній ситуації дві послідовності виплат називаються еквівалентними за фіксованою ставкою нарахувань складних процентів, якщо еквівалентні за цією процентною ставкою їх значення для довільного моменту часу t заданих послідовностей однакові.
Наприклад, для послідовностей платежів R1, R2, R3 та B1, B2, B3, B4, зображених на схемі (рис. 18):
Рис. 18.
рівність еквівалентних значень на момент часу 3 записується формулою:
R1 ´ (1 + i)2 + R2 ´ (1 + i)-1 + R3 ´ (1 + i)-2 = B1 ´ (1+ i)3 + B2 ´ (1+ i) +
+ B3 ´ (1 + i)-1 + B4 ´ (1+ i)-3.
Рівняння, яке встановлює рівність еквівалентних значень для множин платежів, будемо називати рівнянням еквівалентності.
ПРИКЛАД 5.
Необхідно замінити потік платежів 50 тис. грн. через рік, 40 тис. грн. - через два роки, 60 тис. грн. через 5 років еквівалентним потоком, що має дві виплати, рівні за величиною. Перша з виплат - через 2,5 року, друга - через 5 років. Проценти нараховуються за ставкою 10 % річних кожних півроку.
РОЗВ’ЯЗОК.
Часова схема виплат по півріччях має вигляд (рис. 19):
Рис. 19.
Процентна ставка за півроку - 5 %. Запишемо рівняння еквівалентності для теперішнього моменту часу. Воно матиме вигляд:
50 000 ´ (1,05)-2 + 40 000 ´ (1,05)-4 + 60 000 ´ (1,05)-10 = R ´ (1,05)-1 + R ´ (1,05)-10
115092 = R ´ (0,7835 + 0,6139).
Звідси розмір виплати R
R = 82361,53 (грн.).