III. Фінансова еквівалентність Рівняння еквівалентності
3.1. Еквівалентність платежів
Якщо у фінансовій угоді не вказано дати отримання грошової суми, тоді з точки зору фінансиста, немає жодного змісту вести розмову про її розмір. Усім зрозуміло, що 500 гривень, якими ми володіємо сьогодні, та тих же 500 гривень, які ми очікували б через два роки, не є рівновартісні, оскільки гроші можна вкласти в якусь справу і від цього отримати прибуток. Будемо вважати, що банківська процентна ставка на всі види грошових вкладень - 15 % річних. З деяких міркувань вкладник воліє тримати свої гроші саме в цьому банку. Для вкладника не суттєво: отримати 500 гривень через рік чи 700 гривень через два роки. Однак він волів би швидше отримати 1000 гривень через рік, аніж 500 гривень сьогодні, які за ставкою 15 % річних на кінець року забезпечать тільки 575 гривень. Отже, ми бачимо, що для порівняння сум грошей, які відносяться до різних моментів часу, виникає необхідність зафіксувати процентну ставку.
Визначення: Сума грошей Р, яка відноситься до початку терміну, називається еквівалентною за час, що становить n періодів, сумі S у кінці терміну за ставкою складних процентів і якщо виконуються умови:
S = P (1 + i)n (2.1)
або
P = S (1 + i)-n (2.6)
Еквівалентність, зокрема, володіє такою важливою властивістю. Нехай сума грошей А еквівалентна сумі грошей В; а сума грошей В - еквівалентна сумі грошей С за фіксованою ставкою складних процентів. Тоді сума грошей А буде еквівалентною сумі грошей С.
Доведемо цю властивість. Для цього введемо такі позначення:
0 - початковий момент часу;
n1 - термін виплати суми грошей А;
n2 - термін виплати суми грошей В;
n3 - термін виплати суми грошей С.
Графічно процес виплат зображено на схемі:
Рис. 10.
З того, що сума грошей А еквівалентна сумі грошей В, випливає, що
B
= A
(1 + i)
.
Оскільки сума грошей В еквівалентна сумі грошей С, то
C
= B
(1 + i)
.
Підставивши верхню формулу в нижню, отримаємо, що
C
= A
(1 + i)
´
(1 + i)
=
A
(1 + i)
,
що й завершує наше доведення. Отже, сума грошей А еквівалентна сумі грошей C.
Останнє співвідношення в жодному разі не виконується як для простої процентної ставки, так і для простої облікової ставки. Таким чином, поняття еквівалентності для цих ставок не має жодного змісту.
Будемо
вважати, що в момент часу t0
ми
отримали суму грошей С.
Усі суми грошей, які еквівалентні сумі
грошей С
за ставкою і,
лежать на кривій вигляду S
=
C
(1 + і)
,
графік якої:
Рис. 11.
Отже, для порівняння грошових сум треба знайти їх еквівалентні значення, які відповідають одному й тому ж моменту часу, та порівняти їх.
ПРИКЛАД 1.
Борг розміром 100 000 гривень слід сплатити через три роки. Знайти еквівалентне значення боргу за ставкою 15 % через: 1) рік; 2) шість років.
Дано: S = 100 000 грн. n = 3 рр. i = 15 %
|
Розв’язок Нехай S1 - сума грошей, еквівалентна для випадку (1), S6 - еквівалентна сума грошей для випадку (2). Із рівнянь еквівалентності знаходимо: S1 = 100 000 (1,15)-2 = 75614,36 грн. S6 = 100 000 (1,15)3 = 152087,50 грн. |
S6 - ? S1 - ? |
|
або використавши таблиці складних процентів (Додаток 2, Додаток 3):
S1 = 100000 PVIF (15 %; 2) = 100000 ´ 0,7561 = 75610 (грн.)
S2 = 100000 FVIF (15 %; 3) = 100000 ´ 1,5209 = 152090 (грн.)
Зобразимо графічно цю ситуацію на схемі (рис. 12):
Рис. 12.