2.3. Неперервні проценти

Для визначення процентів як результату неперервного їх нарахування знайдемо нарощену за один рік суму, якщо проценти нараховують на одиницю початкового капіталу за ставкою 100 % річних із нарахуванням m разів на рік.

При m = 1 S = = 2

(Проценти нараховують раз у рік.)

m = 12 S = = 2,613

(Проценти нараховують раз у місяць).

m = 360 S = = 2,7145

(Проценти нараховують щоденно).

m = 8640 S = = 2,71812

(Проценти нараховують щогодини).

m = 518 400 S = = 2,718121

(Проценти нараховують щосекунди).

Очевидно, що зі збільшенням m нарощена сума також зростає, але як часто не нараховувалися б проценти, вона завше буде меншою, аніж 2,72.

Як добре відомо з курсу математики, граничне значення нарощеної суми при m ® ? має границю

.

При фіксованій номінальній ставці j множник нарощення за t років

для достатньо великих m дуже близький до e^j´t, оскільки:

= e ^j´t.

Отже, при неперервному способі нарахування процентів нарощена сума є експоненціальною функцією з точністю до деякого множника P – початкової суми грошей.

S = P ´ e^j´t (2.6)

ПРИКЛАД 6.

Знайти нарощене значення 250 тис. грн., покладених у банк на 6 років за номінальною ставкою 12 % річних з нарахуванням процентів:

1) один раз на рік; 2) два рази на рік; 3) неперервно.

Розв’язок.

За формулою (2.1)

1) S = 250 000 ´ 493455,67 (грн.).

За формулою (2.2)

2) S = 250 000 ´ = 503049,00 (грн.).

За формулою (2.6)

3) S = 250 000 ´ е^0,12´6 = 513 608,30 (грн.).

Приклад 7.

Знайти грошовий виграш, який отримає інвестор за 3 роки від інвестування 50 тис. грн за порцентною річною ставкою 6 %, якщо замість щомісячного нарахування процентів проводитиметься нарахування неперервних процентів.

Дано P = 5 тис. грн. і = 6 % m1 = 12	РОЗВ’ЯЗОК Нехай S2 – нарощена сума при щомісячному нарахуванні; S2 – при неперервному нарахуванні. Тоді за формулою (2.2) S1 = 50 000 ´ = 59 834,02 (грн.).
S1 –– ? S2 –– ?	За формулою (2.6) S2 = 50 000 ´ е 3´0,06= 59 860,86 (грн.). Отже, грошовий виграш становитиме: S2 –– S1 = 59 860,86 - 59 834,02 = 26,84 (грн.).

2.4. Дисконтування за складними процентними ставками

Дуже часто інвестор хоче знати, яку грошову суму Р йому треба вкласти під складні проценти сьогодні, щоб в майбутньому фіксованому часі отримати суму грошей S. При цьому суму грошей Р називають теперішньою вартістю суми S, зведеним значенням суми S. Різницю в грошах S – P називають складним дисконтом. Сам процес визначення теперішньої вартості майбутньої суми S, як відомо з п. 1.3, називається дисконтуванням. Дисконтування за складними процентними ставками поділяється на математичне і банківське.

Формула для обчислення теперішньої вартості P при фіксованих S, n, i випливає з формули (2.1) і має вигляд:

(2.7)

Формула (2.7) є формулою математичного дисконтування, у ній бере участь складна ставка процентів і. Вираз називається дисконтним множником зі складною процентною ставкою, у зарубіжній літературі його позначають PVIF (i; n) - Present Value Interest Factor, а його значення знаходять у таблицях складних процентів за параметрами і та n (Додаток 3).

У разі, коли проценти нараховуються кілька разів на рік за номінальною ставкою j, теперішня вартість P дорівнює:

(2.7¢)

При нарахуванні неперервних процентів за річною ставкою j:

P = S ´ e^–j´t (2.8)

ПРИКЛАД 8.

Знайти теперішню вартість боргу, нарощена сума якого через 2 роки становитиме 50 тис. грн.

При цьому проценти нараховуються:

1) за ставкою 12 % - наприкінці кожного року;

2) за ставкою 2 % - наприкінці кожного кварталу;

3) за ставкою 6 % - наприкінці кожного місяця;

4) за ставкою 10 % - неперервно.

Розв’язок.

1) P = = 50 000 ´ PVIF (12 %; 2) = 50 000 ´ 0,7972 = 39 860 (грн.)

2) P = = 50 000 ´ PVIF (2 %; 8) = 50 000 ´ 0,8535 = 42 675 (грн.)

3) P = = 50 000 ´ PVIF (6 %; 24) = 50 000 ´ 0,2470 = 12 350 (грн.)

4) P = = 40 937 (грн.)

Банківське дисконтування (комерційний облік) проводять за складною обліковою ставкою. На кожному кроці у часі облікова ставка застосовується не до однієї суми (як при банківському дисконтуванні за простою обліковою ставкою), а до суми, зменшеної на величину дисконту, визначеного на попередньому етапі.

Банківське дисконтування за складною обліковою ставкою (d_c) проводиться за формулою:

P = S ´ (1 – d_c)ⁿ (2.9)

ПРИКЛАД 9.

Обчислити суму дисконту при проведенні банківського дисконтування суми 18 тис. грн. за 4 роки за складною обліковою ставкою 12 %.

Дано: S = 18 000 грн. n = 4 dc = 12 %	Розв’язок Перш ніж обчислити дисконт, знайдемо теперішню вартість 18 тис. грн. за формулою (2.9): P = 18 000 ´ (1 –– 0,12)4 = 18 000 ´ 0,599695 = 10 794,52 (грн.). Сума дисконту дорівнює: D = S –– P = 18 000 –– 10 794,52 = 7 205,48 (ггрнн.).
D –– ?

Дисконтування за складною обліковою ставкою призводить до результатів, вигідніших для боржника, аніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою.

Банківське дисконтування можна проводити m разів на рік. У цьому разі застосовують номінальну облікову ставку f, а кожне дисконтування проводиться за ставкою .

Формула банківського дисконтування за номінальною обліковою ставкою має вигляд:

(2.10)

Дисконтування не один, а m разів на рік, сповільнює цей процес.

ПРИКЛАД 10

За вихідними даними та умовою прикладу 9 провести дисконтування за складною обліковою ставкою не один, а чотири рази на рік (щокварталу).

РОЗВ’ЯЗОК.

За формулою (2.10) маємо:

P = 18 000 ´ = 18 000 ´ (1 – 0,03)¹⁶ = 18 000 ´ 0,783743 = = 14 107,38 (грн.).

Відповідно, дисконт дорівнює:

D = 18 000 – 14 107,38 = 3 892,62 (грн.).